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ARITHMÉTIQUES.

2^o Quand $Q$ n’est pas divisible par $a$, nous ferons encore ici deux sous-divisions :

(A). Quand $a=2$, on a toujours $QRa^{\alpha }$ si $\alpha =1$ ; mais si $\alpha =2$, il faut que $Q$ soit de la forme $4n+1$, et quand $\alpha =3$ ou $>3$, $Q$ doit être de la forme $8n+1$ ; si cette condition a lieu, ou aura $QRa^{\alpha }$. (Voyez n^o 103 ).

(B). Quand $a$ est différent de $2$, la relation de $Q$ à $a^{\alpha }$ est la même que celle de $Q$ à $a$. ( Voyez n^o 101).

III. On cherchera de la manière suivante la relation d’un nombre quelconque $Q$ à un nombre premier $a$ impair : quand $Q>a$, on substituera à $Q$ son résidu minimum positif suivant le module $a$, ou, ce qui est quelquefois avantageux, son résidu minimum absolu, qui aura avec $a$ la même relation que $Q$.

Or si l’on résout $Q,$ ou le nombre pris à sa place, en facteurs premiers $p,$ $p',$ $p'',$ etc., auxquels il faut joindre le facteur $-1$, quand $Q$ est négatif, il est évident que la relation de $Q$ à $a$ dépendra de la relation des facteurs $p,$ $p',$ $p''$ etc. à $a\,:$ ensorte que, si parmi eux il y en a $2m$ non-résidus de $a,$ on aura $QRa\,;$ mais s’il y en a $2m+1,$ on aura $QNa.$ Au reste, on voit facilement que si parmi les facteurs $p,$ $p',$ $p'',$ etc,, il y en a un nombre pair d’égaux entre eux, on peut les rejeter, puisqu’ils n’influent en rien sur la relation de $Q$ à $a.$

IV. Si $-1$ et $2$ sont facteurs de $Q,$ leur relation à $a$ se trouve par les n^os 108, 112, 113, 114, mais la relation des autres nombres à $a$ dépend de la relation de $a$ à ces nombres. (Théorème fondam. et n^o 131). Soit $p$ l’un d’eux ; en traitant $a$ et $p$ comme nous avons traité $Q$ et $a,$ qui étaient des nombres plus grands, on trouvera que la relation de $a$ à $p$ peut être déterminée par les n^os (108—114), (si, par exemple, le résidu minimum de $a$ ${\pmod {p}}$ n’est divisible par aucun nombre impair), ou que cette relation dépend de celle de $p$ à des nombres premiers plus petits que lui. Il en est de même des autres facteurs $p',$ $p'',$ etc. Or on voit facilement qu’en continuant ces opérations, on arrivera né-