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RECHERCHES

${\pmod {h}}$ , parconséquent $pRh$ ; d’où il résulte (prop. 10, n^o 132) $+hRp\ ;$ mais on a $-bhRp$ , donc $-bRp$ ou $+bNp$ .

142. Sixième cas. Quand $\mathrm {T} +1$ est de la forme $4\mathrm {n} +3$ ( $=\mathrm {b}$ ), $\mathrm {p}$ de la forme $4\mathrm {n} +1$ et $\mathrm {pRb} ,$ on ne peut pas avoir $\mathrm {\pm bNp} .$ Septième cas du n^o 131.

Nous omettons la démonstration, qui est semblable à la précédente.

143. Septième cas. Quand $\mathrm {T} +1$ est de la forme $4\mathrm {n} +3\,(=\mathrm {b} )$ , $\mathrm {p}$ de la même forme et qu’on a $\mathrm {+pNb} ,$ ou $-\mathrm {pRb} ,$ on ne pourra avoir $\mathrm {+bNp}$ , ou $\mathrm {-bRp} .$ Quatrième cas du n^o 131.

Soit $-p\equiv e^{2}{\bmod {b}}$ , et $e$ pair $<b$ .

I. Quand $e$ n’est pas divisible par $p$ , soit $-p=e^{2}-bf$ , $f$ sera positif, de la forme $4n+1$ , premier avec $p$ et moindre que $b$ ; car de ce que $e$ n’est pas plus grand que $b-1$ , et que $p<b-1$ , il s’ensuit que $bf=p+e^{2}<b^{2}-b$ ou $f<b-1$ . Or on a $-pRf$ , donc (prop. 10 n^o 132) $+fRp$ ; d’ailleurs $bfRp\,;$ donc $bRp,$ ou $-bNp.$

II. Quand $e$ est divisible par $p$ , soit $e=pg$ et $g^{2}p=-1+bh$ , $h$ sera positif, de la forme $4n+3$ , premier à $p$ et $<b$ ; or on a $-pRh$ , donc (prop. 14, n^o 132) $hRp$ ; d’ailleurs $bhRp$ , donc $+bRp$ et $-bNp$ .

144. Huitième cas. Quand $\mathrm {T} +1$ est de la forme $4\mathrm {n} +3$ ( $=\mathrm {b} ,$ ) $\mathrm {p}$ de la forme $4\mathrm {n} +1$ et que $\mathrm {+pNb}$ ou $\mathrm {-pRb} ,$ on ne pourra avoir $\mathrm {\pm bRp} .$ Dernier cas du n^o 131.

La démonstration est la même que dans le cas précédent.

145. Dans la démonstration du théorème fondamental, nous avons toujours pris pour $e$ une valeur paire ; on aurait pu également employer une valeur impaire ; mais alors il aurait fallu distinguer différens cas. Ceux qui aiment ces recherches ne perdront pas leur temps, s’ils s’exercent à les développer : il est alors nécessaire de supposer les théorèmes relatifs aux résidus $+2$ et $-2$ ; mais comme notre démonstration a été achevée sans y avoir recours, nous en tirons une nouvelle manière de les démontrer ; elle est d’autant moins à dédaigner, que les méthodes dont nous nous sommes servis pour démontrer que $\pm 2$ est résidu de tout nombre premier de la forme $8n+1$ peuvent ne pas sembler assez