106
RECHERCHES
, parconséquent
; d’où il résulte (prop. 10, no 132)
mais on a
, donc
ou
.
142. Sixième cas. Quand
est de la forme
(
),
de la forme
et
on ne peut pas avoir
Septième cas du no 131.
Nous omettons la démonstration, qui est semblable à la précédente.
143. Septième cas. Quand
est de la forme
,
de la même forme et qu’on a
ou
on ne pourra avoir
, ou
Quatrième cas du no 131.
Soit
, et
pair
.
I. Quand
n’est pas divisible par
, soit
,
sera
positif, de la forme
, premier avec
et moindre que
; car
de ce que
n’est pas plus grand que
, et que
, il s’ensuit que
ou
. Or on a
, donc
(prop. 10 no 132)
; d’ailleurs
donc
ou
II. Quand
est divisible par
, soit
et
,
sera positif, de la forme
, premier à
et
; or on
a
, donc (prop. 14, no 132)
; d’ailleurs
, donc
et
.
144. Huitième cas. Quand
est de la forme
(
)
de la forme
et que
ou
on ne pourra avoir
Dernier cas du no 131.
La démonstration est la même que dans le cas précédent.
145. Dans la démonstration du théorème fondamental, nous
avons toujours pris pour
une valeur paire ; on aurait pu également employer une valeur impaire ; mais alors il aurait fallu distinguer différens cas. Ceux qui aiment ces recherches ne perdront pas leur temps, s’ils s’exercent à les développer : il est alors nécessaire de supposer les théorèmes relatifs aux résidus
et
;
mais comme notre démonstration a été achevée sans y avoir recours, nous en tirons une nouvelle manière de les démontrer ; elle est d’autant moins à dédaigner, que les méthodes dont nous nous sommes servis pour démontrer que
est résidu de tout
nombre premier de la forme
peuvent ne pas sembler assez