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ARITHMÉTIQUES.
et
de la même forme, et que l’on a
, on ne peut pas avoir
. C’est le premier cas du no 131.
Soit
et
pair et
, ce qui est toujours possible. Il y a deux cas à distinguer :
1o. Quand
n’est pas divisible par
. Soit
,
sera
positif et de la forme
(ou de la forme
),
et non
divisible par
. On aura donc
, c’est-à-dire,
,
d’où, par la proposition 11 du no 132,
; (car les propositions ont lieu pour les nombres
et
) ; mais on a aussi
, donc
(no 98).
2o. Quand
est divisible par
. Soit
et
,
ou
. Alors
sera de la forme
(c’est-à-dire
),
et premier avec
et
. Or on aura
, donc aussi
, donc
(proposition 11, no 132)
; mais on a aussi
,
à cause de
, donc aussi
.
138. Second cas. Quand
est de la forme
(
),
de la forme
, et que
, on ne peut pas avoir
, ou
. C’est le cinquième cas du no 131.
Soit, comme ci-dessus,
pair et
:
1o. Quand
n’est pas divisible par
,
ne le sera pas non
plus ; d’ailleurs
sera positif, de la forme
(ou
) et
;
or on a
, et partant
(prop. 10, no 132) ; mais on
a aussi
, donc
, ou
.
2o. Quand
est divisible par
. Soit
et
, on aura
ainsi
; alors
sera positif, de la forme
(
)
et premier à
et à
. Or
, et parconséquent
; donc
(prop. 13, no 132)
; mais on a
, d’où il résulte
et
.
139. Troisième cas. Quand
est de la forme
(
),
de la même forme, et que
, on ne peut pas avoir
.
C’est le deuxième cas du no 131.
Soit pris un nombre premier moindre que
, dont
ne soit
pas résidu (125—129) ; il faut considérer séparément deux cas,
suivant que ce nombre premier sera de la forme
ou
;