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RECHERCHES

Or si le théorème fondamental n’est pas généralement vrai, il existera une limite $T$ jusqu’à laquelle il le sera ; de sorte qu’il n’ait pas lieu pour le nombre immédiatement plus grand $T+1$ : ce qui revient au même que si nous disions qu’il y a deux nombres premiers dont le plus grand est $T+1$ , qui sont contraires au théorème, quoique deux autres nombres quelconques s’accordent avec lui, pourvu qu’ils soient plus petits que $T+1$ . D’où il suit que les propositions des n^os 131, 132, 133 auront lieu jusqu’à $T$ . Nous allons voir que cette supposition ne peut subsister. Il y a plusieurs cas à distinguer, suivant la forme qu’affectent $T+1$ et le nombre premier plus petit que lui qui, comparé à $T+1$ , contrarie le théorème. Désignons ce nombre par $p$ .

Quand $T+1$ et $p$ sont de la forme $4n+1$ , le théorème fondamental pourrait être faux de deux manières, savoir, si l’on avait à la fois, ou $\pm pR(T+1)$ et $\pm (T+1)Np$ , ou $\pm pN(T+1)$ et $\pm (T+1)Rp$ .

Quand $T+1$ et $p$ sont de la forme $4n+3$ , le théorème fondamental est faux, si l’on a en même temps ou $pR(T+1)$ et $-(T+1)Np$ , (ou, ce qui revient au même, $-pN(T+1)$ et $+(T+1)Rp$ , ou $+pN(T+1)$ et $-(T+1)Rp$ , ou $-pR(T+1)$ et $+(T+1)Np$ ).

Quand $T+1$ est de la forme $4n+1$ , et $p$ de la forme $4n+3$ , le théorème fondamental est faux, si l’on a à la fois ou $\pm pR(T+1)$ et $+(T+1)Np$ ; ou $-(T+1)Rp$ ou $\pm pN(T+1)$ et $-(T+1)Np$ ou $+(T+1)Rp$ .

Quand $T+1$ est de la forme $4n+3$ , et $p$ de la forme $4n+1$ , le théorème fondamental est faux, si l’on a ou $pR(T+1)$ , ou $-pN(T+1)$ et $\pm (T+1)Np$ ; ou $+pN(T+1)$ , ou $-pR(T+1)$ et $\pm (T+1)Rp$ .

Si l’on peut démontrer qu’aucun de ces cas n’a lieu, il sera certain que la vérité du théorème fondamental n’est limitée par aucun terme. Entreprenons donc cette tâche ; mais comme plusieurs de ces cas dépendent des autres, nous ne pourrons conserver l’ordre dans lequel nous les avons présentés.

137. Premier cas. Quand $\mathrm {T} +1$ est de la forme $4\mathrm {n} +1(=\mathrm {a} ),$