2o . Ce que nous venons de dire a lieu de quelque manière qu’on décompose en facteurs. Passons aux cas particuliers. Considérons d’abord le cas où l’un des nombres est positif, et l’autre , de la forme ou ; décomposons et en facteurs premiers, en donnant à tous les facteurs de le signe , et le signe ou le signe à chacun de ceux de , suivant qu’ils seront de la forme ou , et sera alors de la forme ou , comme l’hypothèse l’exige. Combinons chacun des facteurs de avec chacun des facteurs de , et désignons comme ci-dessus par le nombre des combinaisons dans lesquelles le facteur de est non-résidu du facteur de , et semblablement par le nombre de celles où le facteur de est non-résidu du facteur de . Il suit du théorème fondamental que ces combinaisons doivent être identiques ; donc . Enfin de ce que nous avons démontré tout-à-l’heure, il suit que et , d’où . Les propositions 1, 3, 4, 6 du no 133 se trouvent démontrées par là.
On peut démontrer les autres propositions directement de la même manière ; mais elles exigent une considération nouvelle, et il est plus aisé de les déduire, comme il suit, des précédentes.
3o . Désignons de nouveau par et des nombres quelconques impairs et premiers entre eux, par et le nombre de facteurs premiers de et , nombres dont et sont respectivement non-résidus. Soit enfin le nombre de facteurs de dont est non-résidu : quand sera négatif par lui-même, il est évident que indiquera un nombre positif. Distribuons maintenant les facteurs de en quatre classes.
- (1) En facteurs de la forme , dont est résidu.
- (2) En facteurs de la forme , dont est résidu ; soit leur nombre .
- (3) En facteurs de la forme , dont est non-résidu ; soit leur nombre .
- (4) En facteurs de la forme , dont est non-résidu ; soit leur nombre .
On voit facilement que , et ; d’où
