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RECHERCHES

Comme les mêmes principes conduisent aux démonstrations de ces propositions, il n’est pas nécessaire de les développer toutes ; la démonstration de la proposition 9 que nous plaçons ici, peut servir de modèle ; mais, avant tout, il faut observer que tout nombre de la forme $4n+1$ ne renfermera aucun facteur de la forme $4n+3$, ou en renfermera un nombre pair parmi lesquels il pourra y en avoir d’égaux ; tandis que tout nombre de la forme $4n+3$ doit en renfermer un nombre impair. Le nombre des facteurs de la forme $4n+1$ reste indéterminé.

Passons à la démonstration de la proposition 9. Soit $A$ le produit des facteurs premiers $a'$, $a''$, etc. $b$, $b'$, $b''$, etc. ; le nombre de ces derniers sera nul ou pair. Or si $a$ est résidu de $A$, il sera résidu de tous les facteurs $a'$, $a''$, etc. $b$, $b'$, $b''$ etc. ; donc, par les propositions 1 et 3 du n^o précédent, chacun de ces facteurs sera résidu de $a$, et partant leur produit $A$ donc (n^o 111) $-A$ le sera aussi ; mais si $-a$ est résidu de $A$, il le sera de tous les facteurs de $A$, et chacun des nombres $a'$, $a''$, etc. sera résidu de $a$, tandis que chacun des nombres $b$, $b'$, etc. sera non-résidu ; mais comme ces derniers sont en nombres pair, le produit total $A$ sera résidu de $a$, et par conséquent aussi $-A$.

133. Donnons encore plus de généralité à nos recherches. Considérons deux nombres quelconques $P$ et $Q$ impairs et premiers entre eux, affectés de signes quelconques. Concevons $P$, abstraction faite du signe, décomposé en facteurs premiers, et désignons par $p$ le nombre de ceux dont $Q$ est non-résidu, en comptant plusieurs fois les facteurs qui entrent plusieurs fois dans $P$ et dont $Q$ est non-résidu. Soit de même $q$ le nombre des facteurs de $Q$ dont $P$ est non-résidu. Les nombres $p$ et $q$ auront entre eux une certaine relation dépendante de la nature des nombres $P$ et $Q$ ; savoir, si l’un des nombres $pq$ est pair ou impair, la forme des nombres $P$ et $Q$ apprendra si l’autre est pair ou impair. Cette relation est présentée dans la table suivante :

$p$ et $q$ seront à la fois pairs ou impairs quand les nombres $P$ et $Q$ seront des formes :

1 $+A$ et $+A'$,	……	2 $+A$ et $-A'$,	……	3 $+A$ et $+B$,
4 $+A$ et $-B$,	……	5 $-A$ et $-A'$,	……	6 $+B$ et $-B'$.

Au contraire, l’un sera pair et l’autre impair quand $P$ et $Q$ au-