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RECHERCHES

premier de la forme $4n+1$ positif ou négatif, est toujours non-résidu d’un nombre premier au moins plus petit que lui, nous allons passer à l’examen exact et général de la condition nécessaire pour qu’un nombre premier soit résidu ou non-résidu d’un autre.

Nous avons démontré plus haut que $-3$ et $+5$ sont résidus ou non-résidus de tous les nombres premiers qui sont respectivement résidus ou non-résidus des nombres $3$ et $5$.

On trouve par induction, relativement aux nombres suivans, que, $-7$, $-11$, $+13$, $+17$, $-19$, $-23$, $+29$, $-31$, $+37$, $+41$, $-43$, $-47$, $+53$, $-59$, etc., sont résidus ou non-résidus de tous les nombres premiers qui, pris positivement, sont résidus ou non-résidus de ces nombres premiers. Cette induction s’établit facilement au moyen de la Table II.

Une légère attention suffit pour remarquer que parmi ces nombres premiers, ceux de la forme $4n+1$ sont affectés du signe $+$, et ceux de la forme $4n+3$, du signe $-$.

131. Nous démontrerons bientôt généralement ce que l’induction nous a fait découvrir ; mais avant de l’entreprendre, il est nécessaire de faire voir toutes les conséquences de ce théorème supposé vrai et que nous énoncerons ainsi :

Tout nombre qui, pris positivement, est résidu ou non-résidu de $\mathrm {p} ,$ aura, pour résidu ou non-résidu, $\mathrm {+p}$ ou $\mathrm {-p} ,$ selon que $\mathrm {p}$ sera de la forme $4\mathrm {n} +1$ ou $4\mathrm {n} +3.$

Comme presque tout ce qu’on peut dire sur les résidus quadratiques est une suite de ce théorème, la dénomination du théorème fondamental dont nous nous servirons dorénavant, ne sera pas déplacée.

Pour exposer nos raisonnemens de la manière la plus courte, nous désignerons par $a$, $a'$, $a''$, etc. les nombres premiers de la forme $4n+1$, par $b$, $b'$, $b''$, etc. les nombres premiers de la forme $4n+3$, par $A$, $A'$, $A''$, etc. les nombres quelconques de la forme $4n+1$, par $B$, $B'$, $B''$, etc. les nombres quelconques de la forme $4n+3$. Enfin la lettre $R$ placée entre deux quantités, indiquera que la première est résidu de la seconde, et la lettre $N$ indiquera le contraire. Par exemple, $5R11,$ $2N5,$ indiqueront que $5$ est résidu de $11$, et que $2$ est non-résidu de $5$.

Maintenant,