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ARITHMÉTIQUES.

Exemple. Soit (I) composé des nombres $12$, $18$, $45$, et (II) composé des nombres $3$, $4$, $5$, $6$, $9$ ; alors en faisant successivement $p=2$, $4$, $3$, $9$, $5$, on trouvera dans (I) $2$, $1$, $3$, $1$, $1$, termes divisibles, et $2$, $1$, $3$, $1$, $1$ dans (II) respectivement ; or le produit de tous les termes de (I) $=9720$ qui est divisible par $3240$, produit des termes de (II).

Démonstration. Soit $Q$ le produit de tous les termes de (I), et $Q'$ le produit de tous les termes de (II), il est évident que tout nombre premier diviseur de $Q'$ le sera aussi de $Q$. Prouvons maintenant que tout facteur premier de $Q'$ est au moins élevé à la même puissance dans $Q$. Soit $p$ ce diviseur, et supposons qu’il y ait dans la suite (I) $a$ termes divisibles par $p$ et non par $p^{2}$, $b$ par $p^{2}$ et non par $p^{3}$, $c$ par $p^{3}$ et non par $p^{4}$, etc. ; $a'$, $b'$, $c'$, etc. ayant la même signification dans la suite (II). On verra facilement que $a+2b+3c+\ etc.$, est l’exposant de $p$ dans $Q'$, et $a'+2b'+3c'+\ etc.$, l’exposant de $p$ dans $Q'$ ; mais $a'$ n’est certainement pas $>a$ ni $b'>b$, etc. par hypothèse ; donc aussi $a'+2b'+3c'+\ etc.$, ne sera pas $>a+2b+3c+\ etc.$, ainsi, comme aucun nombre premier ne peut avoir un exposant plus grand dans $Q'$ que dans $Q$, $Q$ est divisible par $Q'$ (n^o 17).

127. Lemme. Dans la progression $1,$ $2,$ $3,$ $4$.... $\mathrm {n} ,$ il ne peut y avoir plus de termes divisibles par un nombre quelconque $\mathrm {h} ,$ que dans la progression $\mathrm {a} ,$ $\mathrm {a+1} ,$ $\mathrm {a+2} ,\dots ,$ $\mathrm {a+n-1} ,$ qui a le même nombre de termes.

En effet on voit sans peine que si $n$ est divisible par $h$, il y a dans chaque progression ${\frac {n}{h}}$ termes divisibles par $h$ ; sinon soit $n=he+f$, $f$ étant $<h$ ; il y aura dans la première série $e$ termes, et dans la seconde $e$ ou $e+1$ termes divisibles par $h$.

Il suit de là, comme corollaire, que ${\frac {a(a+1)(a+2)(a+3)...(a+n-1)}{1.2.3...n}}$ est toujours un nombre entier : proposition connue par la théorie des nombres figurés, mais qui, si je ne me trompe, n’a encore été démontrée directement par personne.

Enfin on aurait pu présenter plus généralement ce lemme comme il suit :

Dans la progression $a$, $a+1$, $a+2$, ... $a+n-1$, il y a au moins autant de termes congrus suivant le module $h$ à un nombre