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ARITHMÉTIQUES.
appartenant à l’exposant , suivant le module , nombre qu’on
a appris à trouver dans la section précédente, on aura , ou
. Mais comme
on ne peut avoir , il s’ensuit qu’on aura ; donc ; c’est-à-dire, que est résidu de ; et partant lui-même,
puisque est un résidu non-divisible par ; car, à cause
de , n’est pas divisible par .
Comme le cas où il est question d’un nombre premier de la
forme demande des artifices particuliers de calculs, et
comme nous traiterons par la suite, d’une manière générale, les
propositions au moyen desquelles on peut résoudre ce problème,
nous nous contenterons d’en parler ici en passant.
1o. Si est un nombre premier, et un nombre aussi donné non-résidu
de la valeur de l’expression ,
dont le développement ne contiendra pas d’irrationnelles, sera toujours divisible par , quelque valeur que l’on attribue à . En
effet il est clair, par l’inspection des coefficiens qui naissent de ce
développement, que tous les termes, depuis le second jusqu’à l’avant-dernier inclusivement, sont divisibles par , et que partant
; mais parceque b est non-résidu de p, on aura , (no 106) ; or on a
toujours (section précédente), d’où s’ensuit .
2o. Dans la congruence , l’indéterminée aura dimensions, et tous les nombres , seront racines
de cette congruence. Soit un diviseur de , l’expression que nous représenterons par , sera rationnelle,
y aura dimensions, et il est constant par les premiers élémens
d’analyse, que est divisible par . Or je dis qu’il y a valeurs, qui rendent divisible par . En effet, soit , aura
dans , dimensions, et partant la congruence , ne pourra avoir plus de racines, d’où il suit
M