et non-résidu de tous les autres, par exemple, de tous ceux de la
forme , , tant premiers que composés.
est résidu de tout nombre qui n’est divisible ni par ni par aucun nombre premier de la forme ou , non-résidu de tous les autres.
Ces théorèmes élégans étaient connus de Fermat (Op. mathém., p. 168) ; mais il n’en a point donné la démonstration, qu’il a dit avoir trouvée. Depuis, Euler l’a toujours cherchée en vain ; mais Lagrange en a publié le premier une démonstration rigoureuse (Nouv. Mém. de l’Ac. de Berlin. 1775, p. 349, 351) ; et il paraît qu’Euler ne la connaissait pas encore quand il a écrit la dissertation que renferme le T. 1 des Opuscula analyt., p. 259.
117. Passons aux résidus et , et commençons par le dernier.
On trouve par la table II que les nombres premiers dont est résidu, sont , , , , , , , , , , , , parmi lesquels il n’y en a aucun de la forme . On démontre comme il suit qu’au-delà des tables il n’y a pas de nombres de cette forme dont soit résidu : il est d’abord évident que tout nombre composé de la forme renferme un facteur premier de la même forme ; ainsi, quand il sera démontré qu’il n’y a pas de nombres premiers de la forme dont soit résidu, il demeurera prouvé qu’il n’y a pas non plus de nombres composés. Si donc au-delà des limites de la fable il y avait de tels nombres, soit le plus petit de tous, et qu’on ait ; alors en prenant pair et moindre que , on aura et résidu de ; or si était de la forme , serait de la forme , et partant de la forme , ce qui est absurde, puisque nous avons supposé que était le plus petit nombre contraire à notre induction ; en second lieu, si était de la forme , serait de la forme , et partant de la forme ; donc serait de la forme ; or il est clair que serait aussi résidu de , ce qui est absurde, puisque ; donc ne sera résidu d’aucun nombre de la forme .
Comme tout nombre de la forme est contenu sous la forme