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RECHERCHES

1^o . Pour un module premier quelconque de la forme $4m+1$, parmi les nombres $1,\ 2,\ 3,\ldots 4m,$ on en trouvera $m$ qui peuvent être congrus à un biquarré, et les $3m$ autres ne pourront pas l’être.

On peut le conclure facilement des principes de la section précédente ; mais on peut aussi s’en passer sans difficulté. En effet nous avons démontré que pour un pareil module, $-1$ était toujours résidu quadratique. Soit donc $f^{2}\equiv {-1}$, il est clair que si $z$ est un nombre quelconque non divisible par le module, les biquarrés des quatre nombres $+z,$ $-z,$ $+fz,$ $-fz$ (qu’on voit facilement être incongrus) seront congrus entre eux. Or il est évident que le biquarré de tel nombre qu’on voudra, qui ne serait congru à aucun de ces nombres, ne pourrait pas être congru à leurs biquarrés ; autrement la congruence $x^{4}\equiv z^{4}$ aurait plus de quatre racines (n^o 43). On déduit facilement de là que les nombres $1,\ 2,\ 3,\ldots 4m,$ fournissent seulement m biquarrés incongrus, pour lesquels, parmi les mêmes nombres, on en trouvera $m$ qui leur sont congrus ; les autres ne pourront être congrus à aucun biquarré.

2^o . Suivant un module premier de la forme $8n+1$, $-1$ peut être rendu congru à un biquarré ; c’est-à-dire que $-1$ sera résidu biquadratique de ce nombre premier.

En effet le nombre des résidus biquadratiques moindres que $8n+1$ (zéro excepté), sera $=2n,$ c’est-à-dire, pair. Or on prouve facilement que, si $r$ est résidu biquadratique de $8n+1,$ la valeur de l’expression ${\frac {1}{r}}{\pmod {8n+1}}$ est un pareil résidu. Donc on peut distribuer les résidus biquadratiques par classes, comme nous l’avons fait, au n^o 109, pour les résidus quadratiques, et le reste de la démonstration est exactement le même qu’à l’article cité.

3^o . Soit maintenant $g^{4}\equiv -1$ et $h$ la valeur de l’expression ${\frac {1}{g}}{\pmod {8n+1}}$. On aura alors $(g\pm h)^{2}g^{2}+h^{2}\pm 2gh\equiv {-h^{2}}\equiv g^{2}+h^{2}\pm 2$, puisque $gh\equiv 1$ ; mais$g^{4}\equiv -1$ ; donc $g^{4}h^{2}\equiv -h^{2}\,:$ d’ailleurs $g^{4}h^{2}\equiv g^{2}.g^{2}h^{2}\equiv g^{2},$ donc $g^{2}\equiv -h^{2}$ ou $g^{2}+h^{2}\equiv 0,$ et $(g\pm h)^{2}\equiv \pm 2\,;$ c’est-à-dire que $+2$ et $-2$ sont des résidus quadratiques de $8n+1.$

116. Au reste on tire facilement de ce qui précède la règle générale suivante : $+2$ est résidu de tout nombre qui n’est divisible ni par $4$ ni par aucun nombre premier de la forme $8n+3$ ou $8n+5,$