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ARITHMÉTIQUES.

110. Cette démonstration est encore due à Euler, ainsi que la précédente qu’il a donnée le premier (Opusc. analyt. T. I, p. 135). Il est aisé de voir qu’elle repose sur des principes semblables à ceux sur lesquels nous avons appuyé notre seconde démonstration du théorème de Wilson (n^o 77). Mais en supposant ce théorème, la démonstration précédente se simplifierait beaucoup. En effet, entre les nombres $1,\,2,\,3\ldots p-1,$ il y en a ${\frac {p-1}{2}}$ qui sont résidus et autant de non-résidus ; donc le nombre des non-résidus est pair ou impair suivant que $p$ sera de la forme $4n+1$ ou de la forme $4n+3\,;$ donc le produit de tous les nombres $1,2,3,\ldots p-1$ sera résidu dans le premier cas et non-résidu dans le second (n^o 99). Or ce produit $\equiv {-1}{\pmod {p}}\,;$ donc enfin $-1$ est résidu dans le premier cas et non-résidu dans le second.

111. Si donc $r$ est résidu d’un nombre premier de la forme $4n+1,$ $-r$ le sera aussi, et tous les non-résidus seront encore non-résidus en changeant les signes^[1]. Le contraire arrive pour les nombres premiers de la forme $4n+3,$ dont les résidus deviennent non-résidus, et réciproquement, quand on change le signe (n^o 98).

Au reste on déduit facilement de ce qui précède cette règle générale : $-1$ est résidu de tous les nombres qui ne sont divisibles ni par $4,$ ni par aucun nombre de la forme $4n+3.$ Il est non-résidu de tous les autres. (n^os 103 et 105).

112. Passons aux résidus $+2$ et $-2$ .

Si dans la table II on prend tous les nombres premiers dont $+2$ est résidu, on trouvera $7,$ $17,$ $25,$ $31,$ $41,$ $47,$ $71,$ $73,$ $79,$ $89,$ $97.$ Or on remarque facilement qu’aucun d’eux n’est de la forme $8n+3$ ou $8n+5.$

Voyons donc si cette induction peut devenir une certitude.

Observons d’abord que tout nombre composé de la forme $8n+3$ ou $8n+5$ renferme nécessairement un facteur premier de l’une ou l’autre

↑ Ainsi quand nous parlerons d’un nombre, en tant qu’il sera résidu ou non-résidu d’un nombre de la forme $4n+1$ , nous pouvons ne faire aucune attention à son signe, ou lui donner le signe $\pm .$

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[1] Ainsi quand nous parlerons d’un nombre, en tant qu’il sera résidu ou non-résidu d’un nombre de la forme $4n+1$ , nous pouvons ne faire aucune attention à son signe, ou lui donner le signe $\pm .$

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