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comme cela est évident par les formules (10) et (15), et encore par les formules (14) et (16).

13.

Nous devons, avant tout, faire subir à la fonction $\mathrm {T}$ une transformation semblable à celle qui a été indiquée (Theoria Motus, art. 182), et, avec plus de développements, dans les Recherches sur Pallas.

Posons, à cet effet,

${\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{2}(bb,1)&{}={}(bb)&{}-{}&{\frac {(ab)^{2}}{(aa)}},\\[0.75ex](bc,1)&{}={}(bc)&{}-{}&{\frac {(ab)\,(ac)}{(aa)}},\\[0.75ex](bd,1)&{}={}(bd)&{}-{}&{\frac {(ab)\,(ad)}{(aa)}},\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \cdot \\{\begin{alignedat}{2}(cc,2)&{}={}(cc)&{}-{}&{\frac {(ac)^{2}}{(aa)}}-{\frac {(bc,1)^{2}}{(bb,1)}},\\[0.75ex](cd,2)&{}={}(cd)&{}-{}&{\frac {(ac)\,(ad)}{(aa)}}-{\frac {(bc,1)\,(bd,1)}{(bb,1)}},\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \\{\begin{alignedat}{2}(dd,3)&{}={}(dd)&{}-{}&{\frac {(ad)^{2}}{(aa)}}-{\frac {(bd,1)^{2}}{(bb,1)}}-{\frac {(cd,2)^{2}}{(cc,2)}},\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \end{array}}$

et, ensuite^[1]

${\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{4}&(bb,1)\,&y{}+{}&(bc,1)\,&z{}+{}&(bd,1)\,&w+\ldots &{}={}\eta ',\\&&&(cc,2)\,&z{}+{}&(cd,2)\,&w+\ldots &{}={}\zeta '',\\&&&&&(dd,3)\,&w+\ldots &{}={}\varphi ''',\end{alignedat}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \cdot \end{array}}$

on aura

$\mathrm {T} ={\frac {\xi ^{2}}{(aa)}}+{\frac {{\eta '}^{2}}{(bb,1)}}+{\frac {{\zeta ''}^{2}}{(cc,2)}}+{\frac {{\varphi '''}^{2}}{(dd,3)}}+\ldots ,$

et $\eta '$, $\zeta ''$, $\varphi '''$, etc., se déduiront du $\xi$, $\eta$, $\zeta$, $\varphi$, etc., par les

1. Dans les calculs précédents il suffisait de trois lettres de chaque série pour faire apercevoir la loi des formules ; il a paru nécessaire d’en faire ici figurer une quatrième, pour rendre l’algorithme plus manifeste. (Note de M. Gauss.)