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12.

Les relations qui lient les quantités dont nous nous occupons sont notablement simplifiées par la considération de la fonction indéfinie du second degré

${\begin{aligned}(aa)\,x^{2}&+2\,(ab)\,xy+2\,(ac)\,xz+\ldots \\&+(bb)\,y^{2}+2\,(bc)\,yz+\ldots +(cc)\,z^{2}+\ldots ,\end{aligned}}$

que nous désignerons par $\mathrm {T}$.

Cette fonction est évidemment égale à

(15)

${\frac {\left(ax+by+cz+\ldots \right)^{2}}{p}}+{\frac {\left(a'x+b'y+c'z+\ldots \right)^{2}}{p'}}+\ldots$

De plus, on a évidemment

(16)

$\mathrm {T} =\xi \,x+\eta \,y+\zeta \,z+\ldots ;$

et si, enfin, ou exprime $x$, $y$, $z$, etc., au moyen des équations (7), en fonction de $\xi$, $\eta$, $\zeta$, etc., on aura

${\begin{aligned}\mathrm {T} =(\alpha \alpha )\,\xi ^{2}&+2\,(\alpha \beta )\,\xi \eta +2\,(\alpha \gamma )\,\xi \zeta +\ldots +(\beta \beta )\,\eta ^{2}\\&+2\,(\beta \gamma )\,\eta \zeta +\ldots +(\gamma \gamma )\,\zeta ^{2}+\ldots .\end{aligned}}$

La théorie développée plus haut fournit deux systèmes de valeurs déterminées pour les quantités $x$, $y$, $z$, etc., $\xi$, $\eta$, $\zeta$, etc. Le premier est

${\begin{aligned}x&=x^{0},&y&=y^{0},&z&=z^{0},\ldots ,\\\xi &=-(al),&\eta &=-(bl),&\zeta &=-(cl),\ldots ;\end{aligned}}$

à ce système correspond la valeur

$\mathrm {T} =(ll)-{\frac {1}{\mathrm {P} }},$

ainsi qu’on le voit en comparant à l’équation (16), la troisième forme du poids $\mathrm {P}$, ou par la considération directe de la forme (4).

Le second système de valeurs est

${\begin{aligned}x&=\mathrm {A} ,&y&=\mathrm {B} ,&z&=\mathrm {C} ,\ldots ,\\\xi &={\mathcal {A}},&\eta &={\mathcal {B}},&\zeta &={\mathcal {C}},\,\ldots ;\end{aligned}}$

la valeur correspondante de $\mathrm {T}$ est

$\mathrm {T} =\mathrm {S} ,$