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et remarquons, avant tout, que les coefficients placés symétriquement sont nécessairement égaux, c’est-à-dire que

${\begin{array}{l}{\begin{aligned}(\beta \alpha )&=(\alpha \beta ),\\(\gamma \alpha )&=(\alpha \gamma ),\\(\gamma \beta )&=(\beta \gamma ),\end{aligned}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \end{array}}$

comme cela résulte de la théorie de l’élimination et comme d’ailleurs nous le démontrons plus loin ; nous aurons

(8)

$\left\{{\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{4}x^{0}{}={}&{}-{}(\alpha \alpha )\,&(al){}-{}&(\alpha \beta )\,&(bl){}-{}&(\alpha \gamma )\,&(cl)-\ldots ,\\y^{0}{}={}&{}-{}(\beta \alpha )\,&(al){}-{}&(\beta \beta )\,&(bl){}-{}&(\beta \gamma )\,&(cl)-\ldots ,\\z^{0}{}={}&{}-{}(\gamma \alpha )\,&(al){}-{}&(\gamma \beta )\,&(bl){}-{}&(\gamma \gamma )\,&(cl)-\ldots ,\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{array}}\right.$

et en posant

(9)

$\left\{{\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{4}&(\alpha \alpha )\,&{\mathcal {A}}{}+{}&(\alpha \beta )\,&{\mathcal {B}}{}+{}&(\alpha \gamma )\,&{\mathcal {C}}+\ldots &{}={}\mathrm {A} ,\\&(\beta \alpha )\,&{\mathcal {A}}{}+{}&(\beta \beta )\,&{\mathcal {B}}{}+{}&(\beta \gamma )\,&{\mathcal {C}}+\ldots &{}={}\mathrm {B} ,\\&(\gamma \alpha )\,&{\mathcal {A}}{}+{}&(\gamma \beta )\,&{\mathcal {B}}{}+{}&(\gamma \gamma )\,&{\mathcal {C}}+\ldots &{}={}\mathrm {C} ,\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \cdot \end{array}}\right.$

nous obtiendrons

$\mathrm {K} =k-\mathrm {A} \,(al)-\mathrm {B} \,(bl)-\mathrm {C} \,(cl)-\ldots ;$

et si nous posons de plus,

(10)

$\left\{{\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{5}&a&\mathrm {A} {}+{}&b&\mathrm {B} {}+{}&c&\mathrm {C} +\ldots &{}={}p&&\varepsilon ,\\&a'&\mathrm {A} {}+{}&b'&\mathrm {B} {}+{}&c'&\mathrm {C} +\ldots &{}={}p'&&\varepsilon ',\\&a''&\mathrm {A} {}+{}&b''&\mathrm {B} {}+{}&c''&\mathrm {C} +\ldots &{}={}p''&&\varepsilon '',\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{array}}\right.$

il viendra

(11)

$\mathrm {K} =k-l\,\varepsilon -l'\varepsilon '-l''\varepsilon ''-\ldots .$

9.

La comparaison des équations (7) et (9) nous apprend que les quantités auxiliaires $\mathrm {A}$, $\mathrm {B}$, $\mathrm {C}$, etc., sont les valeurs que prennent les indéterminées $x$, $y$, $z$, etc., lorsque l’on suppose

${\begin{aligned}\xi &={\mathcal {A}},&\eta &={\mathcal {B}},&\zeta &={\mathcal {C}},\ldots ;\end{aligned}}$