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la forme

{\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{6}&\mathrm {L} &{}={}&l&{}+{}&a&x{}+{}&b&y{}+{}&c&z+\ldots ,\\&\mathrm {L} '&{}={}&l'&{}+{}&a'&x{}+{}&b'&y{}+{}&c'&z+\ldots ,\\&\mathrm {L} ''&{}={}&l''&{}+{}&a''&x{}+{}&b''&y{}+{}&c''&z+\ldots ,\end{alignedat}}\\\,\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \cdot \end{array}}

$x$ , $y$ , $z$ , etc., désignant des multiplicateurs déterminés. Réciproquement, il est clair que, pour toutes les valeurs de $x$ , $y$ , $z$ , etc., on pourra former une fonction $\mathrm {U}$ , pour laquelle les valeurs $\mathrm {L}$ , $\mathrm {L'}$ , $\mathrm {L''}$ , etc., seront précisément celles que fournissent ces équations, et cette fonction pourra, d’après ce qui précède, être substituée à $u$ . La forme la plus simple qu’on puisse lui donner est

\mathrm {U} =u+x\,\mathrm {X} +y\,\mathrm {Y} +z\,\mathrm {Z} +\ldots +u',

$u'$ désignant une fonction de $v$ , $v'$ , $v''$ , etc. qui s’annule identiquement lorsque $\mathrm {X}$ , $\mathrm {Y}$ , $\mathrm {Z}$ , etc., sont nuls, et dont la valeur, dans le cas actuel, sera maximum ou minimum (car ses dérivées devront toutes s’annuler). Mais l’introduction de cette fonction n’apporte aucune différence dans les résultats.

5.

Il est maintenant facile d’assigner à $x$ , $y$ , $z$ , etc., des valeurs telles, que la somme

\mathrm {L} ^{2}m^{2}+\mathrm {L'} ^{2}{m'}^{2}+\mathrm {L''} ^{2}{m''}^{2}+\ldots

soit un minimum.

Il est clair que pour atteindre ce but, la connaissance des erreurs moyennes absolues $m$ , $m'$ , $m''$ , etc., n’est pas nécessaire ; il suffit de connaître leurs rapports. Introduisons, en effet, au lieu de ces quantités, les poids des observations, $p$ , $p'$ , $p''$ , etc., c’est-à-dire des nombres réciproquement proportionnels à $m^{2}$ , ${m'}^{2}$ , ${m''}^{2}$ , etc. Les quantités $x$ , $y$ , $z$ , etc., devront être déterminées de telle sorte que le polynôme

{\frac {\left(ax+by+cz+\ldots +l\right)^{2}}{p}}+{\frac {\left(a'x+b'y+c'z+\ldots +l'\right)^{2}}{p'}}+\ldots

acquière une valeur minimum. Supposons que $x^{0}$ , $y^{0}$ ,