( 74 )
4.
Les fonctions
, en nombre infini, par lesquelles on peut remplacer
, ne différeront les unes des autres, dans nos recherches, que par les valeurs qu’elles fourniront pour
,
,
, etc. : nous devons donc, avant tout, chercher les relations qui existent entre les systèmes de valeurs que peuvent prendre ces coefficients. Désignons par
![{\displaystyle {\begin{array}{c}{\begin{array}{lll}a,&a',&a'',\ldots ,\\b,&b',&b'',\ldots ,\\c,&c',&c'',\ldots ,\end{array}}\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5e5f1e16ffef97ed13afcf157487792602c8ccc)
les valeurs que prennent les coefficients
![{\displaystyle {\begin{array}{c}{\begin{array}{lll}{\dfrac {\mathrm {dX} }{\mathrm {d} v}},&{\dfrac {\mathrm {dX} }{\mathrm {d} v'}},&{\dfrac {\mathrm {dX} }{\mathrm {d} v''}},\ldots ,\\[0.75ex]{\dfrac {\mathrm {dY} }{\mathrm {d} v}},&{\dfrac {\mathrm {dY} }{\mathrm {d} v'}},&{\dfrac {\mathrm {dY} }{\mathrm {d} v''}},\ldots ,\\[0.75ex]{\dfrac {\mathrm {dZ} }{\mathrm {d} v}},&{\dfrac {\mathrm {dZ} }{\mathrm {d} v'}},&{\dfrac {\mathrm {dZ} }{\mathrm {d} v''}},\ldots ,\end{array}}\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20f1208ea462c50f2a3caa8d191e29a7ad649eb6)
si l’on y substitue pour
,
,
, etc., leurs valeurs véritables. Il est clair que si l’on donne à
,
,
, etc., des accroissements
,
,
, etc., qui ne changent pas
,
,
, etc., et leur laissent, par conséquent, la valeur zéro, ces accroissements, qui satisferont aux équations
![{\displaystyle {\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{4}0{}={}&a\,&\mathrm {d} v&{}+{}a'&\mathrm {d} v'&{}+{}a''&\mathrm {d} v''&{}+{}\ldots ,\\0{}={}&b\,&\mathrm {d} v&{}+{}b'&\mathrm {d} v'&{}+{}b''&\mathrm {d} v''&{}+{}\ldots ,\\0{}={}&c\,&\mathrm {d} v&{}+{}c'&\mathrm {d} v'&{}+{}c''&\mathrm {d} v''&{}+{}\ldots ,\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cc5788f4aab6cf8b9b8bfbe8300696ac80870eb)
ne changeront rien à la valeur de
, et l’on aura, par conséquent,
![{\displaystyle 0=(l-\mathrm {L} )\,\mathrm {d} v+(l'-\mathrm {L} ')\,\mathrm {d} v'+(l''-\mathrm {L} '')\,\mathrm {d} v''+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eec9b9eedaad123d275d5bb27bd6eaf104ea4943)
On en conclut facilement que
,
,
, etc., doivent avoir