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liées par des relations nécessaires, que nous supposerons exprimées par
équations,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} &=0,&\mathrm {Y} &=0,&\mathrm {Z} &=0,\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22dfe9f99cba84d942bc114502c9ce02dda92bf0)
,
,
, etc., désignant des fonctions données des indéterminées
,
,
, etc. ; car, à la fonction
, on peut, dans ce cas, substituer toute autre fonction
telle, que la différence
s’évanouisse identiquement en vertu des équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} &=0,&\mathrm {Y} &=0,&\mathrm {Z} &=0,\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87d5a856d482163ce2064a291bf48b1ed1b74698)
Si les observations étaient rigoureusement exactes, cette substitution ne changerait en rien le résultat ; mais, en raison des erreurs inévitables, à chaque forme adoptée pour
correspondra un résultat différent, et l’erreur commise, au lieu d’être
![{\displaystyle le+l'e'+l''e''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54e876265220cfa5bbbc89e576e448fef221dcdc)
deviendra
![{\displaystyle \mathrm {L} e+\mathrm {L} 'e'+\mathrm {L} ''e''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a336fe6effb5c305ba748e04fbaee16fe5f72a0)
en désignant par
,
,
, etc., les quotients différentiels
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \mathrm {U} }{\mathrm {d} v}}&,&{\frac {\mathrm {d} \mathrm {U} }{\mathrm {d} v'}}&,&{\frac {\mathrm {d} \mathrm {U} }{\mathrm {d} v''}},\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/282460abb661ed49491b84d374f66663b0fc11c9)
Quoiqu’il soit impossible d’assigner la valeur des diverses erreurs, nous pouvons cependant comparer les erreurs moyennes à craindre dans les diverses combinaisons. La combinaison la plus avantageuse sera celle qui donnera, à l’erreur moyenne, la valeur minimum. Cette erreur étant
![{\displaystyle {\sqrt {\mathrm {L} ^{2}{m}^{2}+\mathrm {L''} ^{2}{m'}^{2}+\mathrm {L''} ^{2}{m''}^{2}+\,\ldots }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd5cf99d5ebfdb6c2ea3d47552fc74098d0b774b)
nous devons chercher à rendre la somme
![{\displaystyle \mathrm {L} ^{2}{m}^{2}+\mathrm {L''} ^{2}{m'}^{2}+\mathrm {L''} ^{2}{m''}^{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96e4ad1881bb53c7d96599332a4f9d961670debf)
aussi petite que possible.