Page:Gauss - Méthode des moindres carrés, trad. Bertrand, 1855.djvu/87

( 73 )

liées par des relations nécessaires, que nous supposerons exprimées par $\sigma$ équations,

${\begin{aligned}\mathrm {X} &=0,&\mathrm {Y} &=0,&\mathrm {Z} &=0,\ldots ,\end{aligned}}$

$\mathrm {X}$, $\mathrm {Y}$, $\mathrm {Z}$, etc., désignant des fonctions données des indéterminées $v$, $v'$, $v''$, etc. ; car, à la fonction $u$, on peut, dans ce cas, substituer toute autre fonction $\mathrm {U}$ telle, que la différence $\mathrm {U} -u$ s’évanouisse identiquement en vertu des équations

${\begin{aligned}\mathrm {X} &=0,&\mathrm {Y} &=0,&\mathrm {Z} &=0,\ldots .\end{aligned}}$

Si les observations étaient rigoureusement exactes, cette substitution ne changerait en rien le résultat ; mais, en raison des erreurs inévitables, à chaque forme adoptée pour $u$ correspondra un résultat différent, et l’erreur commise, au lieu d’être

$le+l'e'+l''e''+\ldots ,$

deviendra

$\mathrm {L} e+\mathrm {L} 'e'+\mathrm {L} ''e''+\ldots ,$

en désignant par $\mathrm {L}$, $\mathrm {L} '$, $\mathrm {L} ''$, etc., les quotients différentiels

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \mathrm {U} }{\mathrm {d} v}}&,&{\frac {\mathrm {d} \mathrm {U} }{\mathrm {d} v'}}&,&{\frac {\mathrm {d} \mathrm {U} }{\mathrm {d} v''}},\ldots .\end{aligned}}$

Quoiqu’il soit impossible d’assigner la valeur des diverses erreurs, nous pouvons cependant comparer les erreurs moyennes à craindre dans les diverses combinaisons. La combinaison la plus avantageuse sera celle qui donnera, à l’erreur moyenne, la valeur minimum. Cette erreur étant

${\sqrt {\mathrm {L} ^{2}{m}^{2}+\mathrm {L''} ^{2}{m'}^{2}+\mathrm {L''} ^{2}{m''}^{2}+\,\ldots }},$

nous devons chercher à rendre la somme

$\mathrm {L} ^{2}{m}^{2}+\mathrm {L''} ^{2}{m'}^{2}+\mathrm {L''} ^{2}{m''}^{2}+\ldots ,$

aussi petite que possible.