Page:Gauss - Méthode des moindres carrés, trad. Bertrand, 1855.djvu/86

( 72 )

tées d’erreurs $e$, $e'$, $e''$, etc., il en résultera pour $u$ une erreur totale représentée par

$le+l'e'+l''e''+\ldots ,$

pourvu que l’on puisse, comme nous le supposerons toujours (lorsque $u$ n’est pas linéaire), négliger les carrés et les produits des erreurs $e$, $e'$, $e''$, etc.

Quoique la grandeur des erreurs $e$, $e'$, $e''$, etc., soit incertaine, l’incertitude attachée à la valeur trouvée pour $u$ peut généralement se mesurer par l’erreur moyenne à craindre dans la détermination adoptée. D’après les principes développés dans le premier Mémoire, cette erreur moyenne est

${\sqrt {{l}^{2}{m}^{2}+{l'}^{2}{m'}^{2}+{l''}^{2}{m''}^{2}+\ldots }},$

$m$, $m'$, $m''$, etc., étant les erreurs moyennes des diverses observations. Si toutes les observations sont affectées du même degré d’incertitude, cette expression devient

$m\,{\sqrt {{l}^{2}+{l'}^{2}+{l''}^{2}+\ldots }}.$

Il est clair d’ailleurs qu’au degré d’approximation auquel nous nous arrêtons, on peut remplacer $l$, $l'$, $l''$, etc., par les valeurs que prennent les coefficients différentiels

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} v}}&,&{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} v'}}&,&{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} v''}},\ldots ,\end{aligned}}$

lorsqu’on y remplace $v$, $v'$, $v''$, etc., par leurs valeurs observées.

3.

Lorsque les quantités $v$, $v'$, $v''$, etc., sont indépendantes, l’inconnue ne peut se déterminer que d’une seule manière, et l’incertitude attachée au résultat ne peut être ni évitée ni diminuée. Les observations fournissent une valeur de l’inconnue qui n’a, dans ce cas, rien d’arbitraire. Il en est tout autrement lorsque les quantités $v$, $v'$, $v''$, etc., sont