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sera plus petit que l’unité ; et ainsi de suite. Donc

$\sum \left[{(a\,\alpha +b\,\beta +c\,\gamma +\ldots )^{2}}\right]$

est nécessairement plus petit que $\varpi$.

2^o. On a

$\sum (a\,\alpha +b\,\beta +c\,\gamma +\ldots )=\rho ,$

car

${\begin{aligned}\sum a\,\alpha &=1,&\sum b\,\beta &=1,&\sum c\,\gamma &=1,\ldots ;\end{aligned}}$

d’où l’on déduit facilement que

$\sum \left[{(a\,\alpha +b\,\beta +c\,\gamma +\ldots )^{2}}\right]$

est plus grand, ou du moins n’est pas plus petit, que ${\frac {\rho ^{2}}{\varpi }}$.

Par conséquent le terme

${\frac {\nu ^{4}-3\,\mu ^{4}}{{(\varpi -\rho )}^{2}}}\left[\rho -\sum {(a\,\alpha +b\,\beta +c\,\gamma +\ldots )^{2}}\right]$

est nécessairement compris entre les limites

$-{\frac {\nu ^{4}-3\,\mu ^{4}}{\varpi -\rho }}\quad$ et $\quad {\frac {\nu ^{4}-3\,\mu ^{4}}{\varpi -\rho }}\,{\frac {\rho }{\varpi }},$

ou bien, entre les limites plus étendues,

$-{\frac {\nu ^{4}-3\,\mu ^{4}}{\varpi -\rho }}\quad$ et $\quad {\frac {\nu ^{4}-3\,\mu ^{4}}{\varpi -\rho }}\cdot$

Donc le carré de l’erreur moyenne à craindre pour la valeur

$\mu ^{2}={\frac {\mathrm {M} }{\varpi -\rho }}$

est compris entre les limites

${\frac {2\,\nu ^{4}-4\,\mu ^{4}}{\varpi -\rho }}\quad$et $\quad {\frac {2\,\mu ^{4}}{\varpi -\rho }}\,;$