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Donc l’erreur moyenne à craindre, lorsqu’on prendra

$\mu ^{2}={\frac {\mathrm {M} }{\varpi -\rho }},$

sera

${\sqrt {{\frac {\nu ^{4}-\mu ^{4}}{\varpi -\rho }}-{\frac {\nu ^{4}-3\,\mu ^{4}}{{(\varpi -\rho )}^{2}}}\left[\rho -\sum {(a\,\alpha +b\,\beta +c\,\gamma +\ldots )}^{2}\right]}}.$

40.

La quantité

$\sum \left[{(a\,\alpha +b\,\beta +c\,\gamma +\ldots )}^{2}\right],$

qui entre dans l’expression précédente, ne peut pas généralement se réduire à une forme plus simple. Cependant on peut assigner deux limites entre lesquelles sa valeur doit nécessairement être comprise :

1^o. On déduit facilement des relations précédentes,

${\begin{aligned}&{(a\,\alpha +b\,\beta +c\,\gamma +\ldots )}^{2}+{(a\,\alpha '+b\,\beta '+c\,\gamma '+\ldots )}^{2}\\+\;&{(a\,\alpha ''+b\,\beta ''+c\,\gamma ''+\ldots )}^{2}+\ldots =a\,\alpha +b\,\beta +c\,\gamma +\ldots ;\end{aligned}}$

d’où nous concluons que

$a\,\alpha +b\,\beta +c\,\gamma +\ldots$

est une quantité positive plus petite que l’unité, ou du moins qu’elle n’est pas plus grande. Il en sera de même de la quantité

$a'\alpha '+b'\beta '+c'\gamma '+\ldots ,$

qui est égale à la somme

${\begin{aligned}(a'\alpha +b'\beta &+c'\gamma +\ldots )^{2}+(a'\alpha '+b'\beta '+c'\gamma '+\ldots )^{2}\\&+{(a'\alpha ''+b'\beta ''+c'\gamma ''+\ldots )}^{2}+\ldots ;\end{aligned}}$

de même

$a''\alpha ''+b''\beta ''+c''\gamma ''+\ldots$