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Donc l’erreur moyenne à craindre, lorsqu’on prendra
![{\displaystyle \mu ^{2}={\frac {\mathrm {M} }{\varpi -\rho }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95def5e5862694c622c876562bc48c8abe8be2d2)
sera
![{\displaystyle {\sqrt {{\frac {\nu ^{4}-\mu ^{4}}{\varpi -\rho }}-{\frac {\nu ^{4}-3\,\mu ^{4}}{{(\varpi -\rho )}^{2}}}\left[\rho -\sum {(a\,\alpha +b\,\beta +c\,\gamma +\ldots )}^{2}\right]}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75316d7f0eb6a97cd0c6a52b76c55eddca62a452)
40.
La quantité
![{\displaystyle \sum \left[{(a\,\alpha +b\,\beta +c\,\gamma +\ldots )}^{2}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/917e7eae3de8faa64a363da0f3be29a91c8165d6)
qui entre dans l’expression précédente, ne peut pas généralement se réduire à une forme plus simple. Cependant on peut assigner deux limites entre lesquelles sa valeur doit nécessairement être comprise :
1o. On déduit facilement des relations précédentes,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{(a\,\alpha +b\,\beta +c\,\gamma +\ldots )}^{2}+{(a\,\alpha '+b\,\beta '+c\,\gamma '+\ldots )}^{2}\\+\;&{(a\,\alpha ''+b\,\beta ''+c\,\gamma ''+\ldots )}^{2}+\ldots =a\,\alpha +b\,\beta +c\,\gamma +\ldots ;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd5f7af27ba54660b2013617675c899c5a409cf)
d’où nous concluons que
![{\displaystyle a\,\alpha +b\,\beta +c\,\gamma +\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/782510a49aa214596b2ff97f66e3b4274d963801)
est une quantité positive plus petite que l’unité, ou du moins qu’elle n’est pas plus grande. Il en sera de même de la quantité
![{\displaystyle a'\alpha '+b'\beta '+c'\gamma '+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94f544391710e52e82b66d7ad9ef9000051b2dcf)
qui est égale à la somme
![{\displaystyle {\begin{aligned}(a'\alpha +b'\beta &+c'\gamma +\ldots )^{2}+(a'\alpha '+b'\beta '+c'\gamma '+\ldots )^{2}\\&+{(a'\alpha ''+b'\beta ''+c'\gamma ''+\ldots )}^{2}+\ldots ;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e50111954780d51837427bc60e90097b6c95c747)
de même
![{\displaystyle a''\alpha ''+b''\beta ''+c''\gamma ''+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9919ff430620744b0ad3580fd8a377946d630a58)