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et ainsi de suite. En additionnant, on obtient la valeur moyenne du produit
![{\displaystyle x^{0}\xi ^{0}(x^{0}\xi ^{0}+y^{0}\eta ^{0}+z^{0}\zeta ^{0}+\ldots )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef1faac8bc4b7f2ae9dfb8193e89e24be2ab299b)
cette valeur est
![{\displaystyle {\begin{aligned}(&\nu ^{4}-3\,\mu ^{4})\sum \left[a\,\alpha \,(a\,\alpha +b\,\beta +c\,\gamma +\ldots )\right]\\&+(\rho \!+\!1)\,\mu ^{4}\!+\mu ^{4}\!\left(\sum \!a^{2}\!\cdot \!\sum \!\alpha ^{2}+\sum \!ab\cdot \!\sum \!\alpha \beta +\sum \!ac\cdot \!\sum \!\alpha \gamma +\!\ldots \!\right)\\[0.75ex]&=(\nu ^{4}-3\,\mu ^{4})\sum \left[a\,\alpha \,(a\,\alpha +b\,\beta +c\,\gamma +\ldots )\right]+(\rho +2)\,\mu ^{4}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b46d9e89d4a93bcc315ee998e7cdcf3e61c2d0d1)
VI. On trouverait de la même manière
![{\displaystyle (\nu ^{4}-3\,\mu ^{4})\sum \left[b\,\beta \,(a\,\alpha +b\,\beta +c\,\gamma +\ldots )\right]+(\rho +2)\,\mu ^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e6959fab38273ead843fe1839ba1b040fa7741c)
pour valeur moyenne du produit
![{\displaystyle y^{0}\eta ^{0}(x^{0}\xi ^{0}+y^{0}\eta ^{0}+z^{0}\zeta ^{0}+\ldots ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f8005760459707259a7414fa6622cba6f0e1b6d)
et
![{\displaystyle (\nu ^{4}-3\,\mu ^{4})\sum \left[c\,\gamma \,(a\,\alpha +b\,\beta +c\,\gamma +\ldots )\right]+(\rho +2)\,\mu ^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1a87028ad7d89e2567bc6ba055d820c8f1a357f)
pour valeur moyenne du produit
![{\displaystyle z^{0}\zeta ^{0}(x^{0}\xi ^{0}+y^{0}\eta ^{0}+z^{0}\zeta ^{0}+\ldots )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6895304c73072d66550cdddf57b5b070b408220)
et ainsi de suite.
Nous aurons donc, par l’addition, la valeur moyenne du carré
![{\displaystyle {(x^{0}\xi ^{0}+y^{0}\eta ^{0}+z^{0}\zeta ^{0}+\ldots )}^{2};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42361ed39e886d95af77b965d08a312d93450dd2)
elle sera
![{\displaystyle (\nu ^{4}-3\,\mu ^{4})\sum \left[{(a\,\alpha +b\,\beta +c\,\gamma +\ldots )}^{2}\right]+(\rho ^{2}+2\,\rho )\,\mu ^{4}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e05b1035ce7e5e04fde16c6654e3c50250aeb9ad)
VII. Nous concluons enfin de tous ces préliminaires,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {N} &{}={}(\varpi -2\,\rho )\,\nu ^{4}+\left(\varpi ^{2}-\varpi -2\,\varpi \rho +4\,\rho +\rho ^{2}\right)\mu ^{4}\\&{}+{}\left(\nu ^{4}-3\,\mu ^{4}\right)\sum \left[{(a\,\alpha +b\,\beta +c\,\gamma +\ldots )}^{2}\right]\\[0.75ex]&{}={}(\varpi -\rho )\left(\nu ^{4}-\mu ^{4}\right)+{(\varpi -\rho )}^{2}\,\mu ^{4}\\&{}-{}\left(\nu ^{4}-3\,\mu ^{4}\right)\left[\rho -\sum \left(a\,\alpha +b\,\beta +c\,\gamma +\ldots \right)^{2}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/212b5fdee57a61686a43129003aea4357ef95fdc)