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et ainsi de suite. En additionnant, on obtient la valeur moyenne du produit

$x^{0}\xi ^{0}(x^{0}\xi ^{0}+y^{0}\eta ^{0}+z^{0}\zeta ^{0}+\ldots )\,;$

cette valeur est

${\begin{aligned}(&\nu ^{4}-3\,\mu ^{4})\sum \left[a\,\alpha \,(a\,\alpha +b\,\beta +c\,\gamma +\ldots )\right]\\&+(\rho \!+\!1)\,\mu ^{4}\!+\mu ^{4}\!\left(\sum \!a^{2}\!\cdot \!\sum \!\alpha ^{2}+\sum \!ab\cdot \!\sum \!\alpha \beta +\sum \!ac\cdot \!\sum \!\alpha \gamma +\!\ldots \!\right)\\[0.75ex]&=(\nu ^{4}-3\,\mu ^{4})\sum \left[a\,\alpha \,(a\,\alpha +b\,\beta +c\,\gamma +\ldots )\right]+(\rho +2)\,\mu ^{4}.\end{aligned}}$

VI. On trouverait de la même manière

$(\nu ^{4}-3\,\mu ^{4})\sum \left[b\,\beta \,(a\,\alpha +b\,\beta +c\,\gamma +\ldots )\right]+(\rho +2)\,\mu ^{4}$

pour valeur moyenne du produit

$y^{0}\eta ^{0}(x^{0}\xi ^{0}+y^{0}\eta ^{0}+z^{0}\zeta ^{0}+\ldots ),$

et

$(\nu ^{4}-3\,\mu ^{4})\sum \left[c\,\gamma \,(a\,\alpha +b\,\beta +c\,\gamma +\ldots )\right]+(\rho +2)\,\mu ^{4}$

pour valeur moyenne du produit

$z^{0}\zeta ^{0}(x^{0}\xi ^{0}+y^{0}\eta ^{0}+z^{0}\zeta ^{0}+\ldots )\,;$

et ainsi de suite.

Nous aurons donc, par l’addition, la valeur moyenne du carré

${(x^{0}\xi ^{0}+y^{0}\eta ^{0}+z^{0}\zeta ^{0}+\ldots )}^{2};$

elle sera

$(\nu ^{4}-3\,\mu ^{4})\sum \left[{(a\,\alpha +b\,\beta +c\,\gamma +\ldots )}^{2}\right]+(\rho ^{2}+2\,\rho )\,\mu ^{4}.$

VII. Nous concluons enfin de tous ces préliminaires,

${\begin{aligned}\mathrm {N} &{}={}(\varpi -2\,\rho )\,\nu ^{4}+\left(\varpi ^{2}-\varpi -2\,\varpi \rho +4\,\rho +\rho ^{2}\right)\mu ^{4}\\&{}+{}\left(\nu ^{4}-3\,\mu ^{4}\right)\sum \left[{(a\,\alpha +b\,\beta +c\,\gamma +\ldots )}^{2}\right]\\[0.75ex]&{}={}(\varpi -\rho )\left(\nu ^{4}-\mu ^{4}\right)+{(\varpi -\rho )}^{2}\,\mu ^{4}\\&{}-{}\left(\nu ^{4}-3\,\mu ^{4}\right)\left[\rho -\sum \left(a\,\alpha +b\,\beta +c\,\gamma +\ldots \right)^{2}\right].\end{aligned}}$