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La valeur moyenne de $\alpha \alpha ''\varepsilon \varepsilon ''{\xi ^{0}}^{2}$ est

$2\,\alpha \alpha ''aa''\mu ^{4}\,;$

et ainsi de suite. D’où l’on conclut facilement que la valeur moyenne du produit

${\xi ^{0}}^{2}\sum \alpha \alpha '\varepsilon \varepsilon '$

est

$2\,\mu ^{4}\sum \alpha \,a\,\alpha 'a'=\mu ^{4}\left[{\left(\sum a\,\alpha \right)}^{2}-\sum a^{2}\alpha ^{2}\right]=\mu ^{4}\left(1-\sum a^{2}\alpha ^{2}\right).$

Ceci posé, nous aurons pour valeur moyenne du produit ${x^{0}}^{2}\,{\xi ^{0}}^{2}$,

$\left(\nu ^{4}-3\,\mu ^{4}\right)\sum a^{2}\alpha ^{2}+2\,\mu ^{4}+\mu ^{4}\sum a^{2}\cdot \sum \alpha ^{2}.$

IV. On trouvera d’une manière analogue, pour valeur moyenne du produit $x^{0}y^{0}\xi ^{0}\eta ^{0}$,

$\nu ^{4}\sum ab\,\alpha \beta +\mu ^{4}\sum a\,\alpha \,b'\beta '+\mu ^{4}\sum ab\,\alpha '\beta '+\mu ^{4}\sum a\,\beta \,b'\alpha '.$

Or on a

${\begin{array}{c}{\begin{alignedat}{4}&\sum a\,\alpha \,b'\beta '&{}={}&\sum a\,\alpha &{}\cdot {}&\sum b\,\beta &{}-{}&\sum a\,\alpha \,b\,\beta ,\\[1ex]&\sum a\,b\,\alpha '\beta '&{}={}&\sum a\,b&{}\cdot {}&\sum \alpha \,\beta &{}-{}&\sum a\,b\,\alpha \,\beta ,\\[1ex]&\sum a\,\beta \,b'\alpha '&{}={}&\sum a\,\beta &{}\cdot {}&\sum b\,\alpha &{}-{}&\sum a\,\beta \,b\,\alpha ,\end{alignedat}}\\[1ex]{\begin{aligned}\sum a\,\alpha &=1,&\sum b\,\beta &=1,&\sum a\,\beta &=0,&\sum b\,\alpha &=0\,;\end{aligned}}\end{array}}$

cette valeur moyenne sera donc

$\left(\nu ^{4}-3\,\mu ^{4}\right)\sum ab\,\alpha \beta +\mu ^{4}\left(1+\sum ab\cdot \sum \alpha \beta \right).$

V. On trouverait, par un calcul semblable, que la valeur moyenne de $x^{0}z^{0}\xi ^{0}\zeta ^{0}$ est

$\left(\nu ^{4}-3\,\mu ^{4}\right)\sum ac\,\alpha \gamma +\mu ^{4}\left(1+\sum ac\cdot \sum \alpha \gamma \right);$