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valeur moyenne ; donc le produit

$\Omega ^{0}\,\left(x^{0}\xi ^{0}+y^{0}\eta ^{0}+z^{0}\zeta ^{0}+\ldots \right)$

aura pour valeur moyenne

$\rho \nu ^{4}+\rho \,(\varpi -1)\,\mu ^{4}.$

III. Afin d’abréger les développements qui vont suivre, nous adopterons la notation suivante. Nous attribuerons à la caractéristique $\Sigma$ un sens plus étendu que nous ne l’avons fait jusqu’ici, en lui faisant désigner la somme des termes semblables, mais non identiques, qui proviennent de toutes les permutations des observations. Nous aurons, d’après cette notation,

${\begin{alignedat}{2}&x^{0}&{}={}&\sum \alpha \varepsilon ,\\[1ex]&{x^{0}}^{2}&{}={}&\sum \alpha ^{2}\varepsilon ^{2}+2\sum \alpha \alpha '\varepsilon \varepsilon '.\end{alignedat}}$

Calculant par parties la valeur moyenne du terme ${x^{0}}^{2}\,{\xi ^{0}}^{2}$, nous aurons d’abord, pour valeur moyenne du produit $\alpha ^{2}\,\varepsilon ^{2}\,{\xi ^{0}}^{2}$,

${\begin{aligned}&a^{2}\alpha ^{2}\nu ^{4}+\alpha ^{2}\left({a'}^{2}+{a''}^{2}+\ldots \right)\mu ^{4}\\&=a^{2}\alpha ^{2}\,(\nu ^{4}-\mu ^{4})+\alpha ^{2}\mu ^{4}\sum a^{2}.\end{aligned}}$

De même, la valeur moyenne du produit ${\alpha '}^{2}\,{\varepsilon '}^{2}\,{\xi ^{0}}^{2}$, est

${a'}^{2}{\alpha '}^{2}\,(\nu ^{4}-\mu ^{4})+{\alpha '}^{2}\mu ^{4}\sum a^{2}\,;$

et ainsi de suite.

Par conséquent, la valeur moyenne du produit

${\xi ^{0}}^{2}\sum \alpha ^{2}\varepsilon ^{2}$

sera

$(\nu ^{4}-\mu ^{4})\sum a^{2}\alpha ^{2}+\mu ^{4}\sum a^{2}\cdot \sum \alpha ^{2}.$

Or la valeur moyenne de $\alpha \alpha '\varepsilon \varepsilon '{\xi ^{0}}^{2}$est

$2\,\alpha \alpha 'aa'\mu ^{4}.$