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39.

Afin de faire voir plus clairement jusqu’à quel point il est permis de regarder la valeur de $\mathrm {M}$, fournie par les observations, comme égale à la valeur exacte, il faut chercher quelle est l’erreur moyenne à craindre lorsque l’on fait

$\mu ^{2}={\frac {\mathrm {M} }{\varpi -\rho }}\cdot$

Cette erreur moyenne est la racine carrée de la valeur moyenne de la quantité

${\left({\frac {\Omega ^{0}-x^{0}\xi ^{0}-y^{0}\eta ^{0}-z^{0}\zeta ^{0}-\ldots -(\varpi -\rho )\,\mu ^{2}}{\varpi -\rho }}\right)}^{2},$

que nous écrirons ainsi :

${\begin{aligned}&{\left({\frac {\Omega ^{0}-x^{0}\xi ^{0}-y^{0}\eta ^{0}-z^{0}\zeta ^{0}-\ldots }{\varpi -\rho }}\right)}^{2}\\-{\frac {2\mu ^{2}}{\varpi -\rho }}&\left[\Omega ^{0}-x^{0}\xi ^{0}-y^{0}\eta ^{0}-z^{0}\zeta ^{0}-\ldots -(\varpi -\rho )\,\mu ^{2}\right]-\mu ^{2}\,;\end{aligned}}$

et comme la valeur moyenne du second terme est évidemment nulle, la question se réduit à chercher la valeur moyenne de la fonction

$\Psi =\left(\Omega ^{0}-x^{0}\xi ^{0}-y^{0}\eta ^{0}-z^{0}\zeta ^{0}-\ldots \right)^{2}.$

Désignons cette valeur moyenne par $\mathrm {N}$, l’erreur moyenne cherchée sera

${\sqrt {{\frac {\mathrm {N} }{{(\varpi -\rho )}^{2}}}-\mu ^{4}}}.$

Si l’on développe la fonction $\Psi$, on voit qu’elle est une fonction homogène des erreurs $e$, $e'$, $e''$, etc., ou, ce qui revient au même, des quantités $\varepsilon$, $\varepsilon '$, $\varepsilon ''$, etc. ; on trouvera donc la valeur moyenne :

1^o. En remplaçant les quatrièmes puissances $e^{4}$, ${e'}^{4}$, ${e''}^{4}$, etc., par leurs valeurs moyennes ;