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39.
Afin de faire voir plus clairement jusqu’à quel point il est permis de regarder la valeur de
, fournie par les observations, comme égale à la valeur exacte, il faut chercher quelle est l’erreur moyenne à craindre lorsque l’on fait
![{\displaystyle \mu ^{2}={\frac {\mathrm {M} }{\varpi -\rho }}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72f343475e986695c90290a4f4939601d8b9dc88)
Cette erreur moyenne est la racine carrée de la valeur moyenne de la quantité
![{\displaystyle {\left({\frac {\Omega ^{0}-x^{0}\xi ^{0}-y^{0}\eta ^{0}-z^{0}\zeta ^{0}-\ldots -(\varpi -\rho )\,\mu ^{2}}{\varpi -\rho }}\right)}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c36f918ea3e64f5e68b4817c9e5f13ca03c3d2b)
que nous écrirons ainsi :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\left({\frac {\Omega ^{0}-x^{0}\xi ^{0}-y^{0}\eta ^{0}-z^{0}\zeta ^{0}-\ldots }{\varpi -\rho }}\right)}^{2}\\-{\frac {2\mu ^{2}}{\varpi -\rho }}&\left[\Omega ^{0}-x^{0}\xi ^{0}-y^{0}\eta ^{0}-z^{0}\zeta ^{0}-\ldots -(\varpi -\rho )\,\mu ^{2}\right]-\mu ^{2}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40bd7ffbe85870a3c66e2295b8e9d918b55dd3cf)
et comme la valeur moyenne du second terme est évidemment nulle, la question se réduit à chercher la valeur moyenne de la fonction
![{\displaystyle \Psi =\left(\Omega ^{0}-x^{0}\xi ^{0}-y^{0}\eta ^{0}-z^{0}\zeta ^{0}-\ldots \right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/236f4527bb06c2eec81f591b6ffcf15e44836c5e)
Désignons cette valeur moyenne par
, l’erreur moyenne cherchée sera
![{\displaystyle {\sqrt {{\frac {\mathrm {N} }{{(\varpi -\rho )}^{2}}}-\mu ^{4}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb9ea5a964f1679cc2b7f943cb6aae2604729408)
Si l’on développe la fonction
, on voit qu’elle est une fonction homogène des erreurs
,
,
, etc., ou, ce qui revient au même, des quantités
,
,
, etc. ; on trouvera donc la valeur moyenne :
1o. En remplaçant les quatrièmes puissances
,
,
, etc., par leurs valeurs moyennes ;