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Soit enfin,

$v^{\ast }=fx+gy+hz+\ldots +k,$

qui deviendra, en ayant égard aux équations (1),

$v^{\ast }=\mathrm {F} \,\xi +\mathrm {G} \,\eta +\mathrm {H} \,\zeta +\ldots +\mathrm {K} ,$

et posons

$\mathrm {F} \,f+\mathrm {G} \,g+\mathrm {H} \,h+\ldots =\omega \,;$

$\mathrm {K}$ sera évidemment la valeur la plus plausible de la fonction $v^{\ast }$, telle qu’elle résulte des équations primitives, sans avoir égard à la valeur 0 fournie par la nouvelle observation, et ${\tfrac {1}{\omega }}$ sera le poids de cette détermination.

Or nous avons

${\begin{aligned}\xi ^{\ast }&=\xi +fv^{\ast },&\eta ^{\ast }&=\eta +gv^{\ast },&\zeta ^{\ast }&=\zeta +hv^{\ast },\ldots ,\end{aligned}}$

et, par suite,

$\mathrm {F} \,\xi ^{\ast }+\mathrm {G} \,\eta ^{\ast }+\mathrm {H} \,\zeta ^{\ast }+\ldots +\mathrm {K} =v\ast (1+\mathrm {F} \,f+\mathrm {G} \,g+\mathrm {H} \,h+\ldots )\,;$

d’où l’on déduit

$v^{\ast }={\frac {\mathrm {F} \,\xi ^{\ast }+\mathrm {G} \,\eta ^{\ast }+\mathrm {H} \,\zeta ^{\ast }+\ldots +\mathrm {K} }{1+\omega }}\cdot$

On a, en outre,

${\begin{aligned}x&=\mathrm {A} +(\alpha \alpha )\,\xi ^{\ast }+(\alpha \beta )\,\eta ^{\ast }+(\alpha \gamma )\,\zeta ^{\ast }+\ldots \\&\qquad \qquad {}-{}v^{\ast }{\big [}f\,(\alpha \alpha )+g\,(\alpha \beta )+h\,(\alpha \gamma )+\ldots {\big ]}\\[0.75ex]&=\mathrm {A} +(\alpha \alpha )\,\xi ^{\ast }+(\alpha \beta )\,\eta ^{\ast }+\ldots -\mathrm {F} \,v^{\ast }\\&=\mathrm {A} +(\alpha \alpha )\,\xi ^{\ast }+(\alpha \beta )\,\eta ^{\ast }+\ldots -{\frac {\mathrm {F} }{1\!+\!\omega }}(\mathrm {F} \xi ^{\ast }+\mathrm {G} \eta ^{\ast }+\mathrm {H} \zeta ^{\ast }+\ldots \mathrm {K} ).\end{aligned}}$

Nous déduirons de là,

$\mathrm {A} ^{\ast }=\mathrm {A} -{\frac {\mathrm {FK} }{1+\omega }},$

qui sera la valeur la plus plausible de $x$, déduites de toutes les observations.