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35.

Nous traiterons particulièrement le problème suivant, tant à cause de son utilité pratique, que de la simplicité de la solution :

Trouver les changements que les valeurs les plus plausibles des inconnues subissent par l’adjonction d’une nouvelle équation, et assigner les poids de ces nouvelles déterminations.

Conservons les notations précédentes. Les équations primitives, réduites à avoir pour poids l’unité, seront

${\begin{aligned}v&=0,&v'&=0,&v''&=0,\ldots ;\end{aligned}}$

on aura

$\Omega ={v}^{2}+{v'}^{2}+{v''}^{2}+\ldots ,$

$\xi$, $\eta$, $\zeta$, etc., seront les dérivées partielles

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \Omega ^{\ast }}{2\,\mathrm {d} x}}&,&{\frac {\mathrm {d} \Omega ^{\ast }}{2\,\mathrm {d} y}}&,&{\frac {\mathrm {d} \Omega ^{\ast }}{2\,\mathrm {d} z}},\ldots ,&\end{aligned}}$

et enfin on aura, par l’élimination,

(1)

$\left\{{\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{5}x&{}={}\mathrm {A} &&{}+{}&(\alpha \alpha )&\,\xi {}+{}&(\alpha \beta )&\,\eta {}+{}&(\alpha \gamma )&\,\zeta +\ldots ,\\y&{}={}\mathrm {B} &&{}+{}&(\alpha \beta )&\,\xi {}+{}&(\beta \beta )&\,\eta {}+{}&(\beta \gamma )&\,\zeta +\ldots ,\\z&{}={}\mathrm {C} &&{}+{}&(\alpha \gamma )&\,\xi {}+{}&(\beta \gamma )&\,\eta {}+{}&(\gamma \gamma )&\,\zeta +\ldots ,\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \cdot \end{array}}\right.$

Supposons maintenant que l’on ait une nouvelle équation approximative,

$v^{\ast }=0,$

dont nous supposerons le poids égal à l’unité. Cherchons les changements que subiront les valeurs les plus plausibles $\mathrm {A}$, $\mathrm {B}$, $\mathrm {C}$, etc., et celles des coefficients $(\alpha \alpha )$, $(\beta \beta )$, etc.

Posons

${\begin{array}{ccc}&\Omega +{v^{\ast }}^{2}=\Omega ^{\ast },&\\[0.75ex]{\dfrac {1}{2}}{\dfrac {\mathrm {d} \Omega ^{\ast }}{\mathrm {d} x}}=\xi ^{\ast },&{\dfrac {1}{2}}{\dfrac {\mathrm {d} \Omega ^{\ast }}{\mathrm {d} y}}=\eta ^{\ast },&{\dfrac {1}{2}}{\dfrac {\mathrm {d} \Omega ^{\ast }}{\mathrm {d} z}}=\zeta ^{\ast },\ldots ,\end{array}}$

et soit

$x=\mathrm {A} ^{\ast }+(\alpha \alpha ^{\ast })\,\xi ^{\ast }+(\alpha \beta ^{\ast })\,\eta ^{\ast }+(\alpha \gamma ^{\ast })\,\zeta ^{\ast }+\ldots$

le résultat de l’élimination.