Page:Gauss - Méthode des moindres carrés, trad. Bertrand, 1855.djvu/64

( 50 )

On aura ensuite,

${\begin{array}{l}{\begin{aligned}&{\frac {{\mathcal {C}}'}{{\mathcal {B}}'}}+\mathrm {B} ''=0,\\&{\frac {{\mathcal {D}}'}{{\mathcal {B}}'}}+{\frac {{\mathcal {D}}''}{{\mathcal {C}}''}}\,\mathrm {B} ''+\mathrm {B} '''=0,\end{aligned}}\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{array}}$

qui donneront $\mathrm {B} ''$, $\mathrm {B} '''$, etc. ; puis

${\begin{array}{l}{\frac {{\mathcal {D}}''}{{\mathcal {C}}''}}+\mathrm {C} '''=0,\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{array}}$

qui feront connaître $\mathrm {C} '''$, etc. ; et ainsi de suite.

La seconde méthode donne le système suivant :

${\mathcal {A}}^{0}\mathrm {A} '+{\mathcal {B}}^{0}=0$

d’où l’on tire $\mathrm {A} '$ ;

${\begin{alignedat}{5}{\mathcal {A}}^{0}&\mathrm {A} ''&{}+{}&{\mathcal {B}}^{0}&\mathrm {B} ''&&{}+{}&{\mathcal {C}}^{0}&{}={}&0,\\&&&{\mathcal {B}}'&\mathrm {B} ''&&{}+{}&{\mathcal {C}}'&{}={}&0,\end{alignedat}}$

d’où l’on tire $\mathrm {B} ''$ et $\mathrm {A} ''$ ;

${\begin{alignedat}{7}{\mathcal {A}}^{0}&\mathrm {A} '''&{}+{}&{\mathcal {B}}^{0}&\mathrm {B} '''&&{}+{}&{\mathcal {C}}^{0}&\mathrm {C} '''&&{}+{}&{\mathcal {D}}^{0}&{}={}&0,\\&&&{\mathcal {B}}'&\mathrm {B} '''&&{}+{}&{\mathcal {C}}'&\mathrm {C} '''&&{}+{}&{\mathcal {D}}'&{}={}&0,\\&&&&&&&{\mathcal {C}}''&\mathrm {C} '''&&{}+{}&{\mathcal {D}}''&{}={}&0,\\\end{alignedat}}$

d’où l’on déduira $\mathrm {C} '''$, $\mathrm {B} '''$, $\mathrm {A} '''$ ; et ainsi de suite.

Les deux systèmes de formules offrent des avantages à peu près égaux, lorsque l’on veut les poids des déterminations de toutes les inconnues $x$, $y$, $z$, etc. ; mais lorsqu’on ne cherche qu’une seule des quantités $(\alpha \alpha )$, $(\beta \beta )$, $(\gamma \gamma )$, etc., le premier système est bien préférable.

D’ailleurs, la combinaison des équations (1) et (4) conduit aux mêmes formules, et fournit, en outre, un second moyen d’obtenir les valeurs les plus plausibles