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mination. Pour déterminer les poids, nous aurons

(5)

$\left\{{\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{6}&(\alpha \alpha )&{}={}&{\frac {1}{{\mathcal {A}}^{0}}}&{}+{}&{\frac {{\mathrm {A} '}^{2}}{{\mathcal {B}}'}}&{}+{}&{\frac {{\mathrm {A} ''}^{2}}{{\mathcal {C}}''}}&{}+{}&{\frac {{\mathrm {A} '''}^{2}}{{\mathcal {D}}'''}}&{}+{}&\ldots ,\\&(\beta \beta )&{}={}&&&{\frac {1}{{\mathcal {B}}'}}&{}+{}&{\frac {{\mathrm {B} ''}^{2}}{{\mathcal {C}}''}}&{}+{}&{\frac {{\mathrm {B} '''}^{2}}{{\mathcal {D}}'''}}&{}+{}&\ldots ,\\&(\gamma \gamma )&{}={}&&&&&{\frac {1}{{\mathcal {C}}''}}&{}+{}&{\frac {{\mathrm {C} '''}^{2}}{{\mathcal {D}}'''}}&{}+{}&\ldots .\end{alignedat}}\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \end{array}}\right.$

La simplicité de ces formules ne laisse rien à désirer. On trouverait des formules également simples pour exprimer les autres coefficients $(\alpha \beta )$, $(\alpha \gamma )$, $(\beta \gamma )$, etc. ; mais, comme leur usage est moins fréquent, nous nous dispenserons de les exposer.

33.

L’importance du sujet nous a engagé à tout préparer pour le calcul et à former les expressions explicites des coefficients $\mathrm {A} '$, $\mathrm {A} ''$, $\mathrm {A} '''$, $\mathrm {B} ''$, $\mathrm {B} '''$, etc.

Ce calcul peut être abordé de deux manières : la première consiste à reporter, dans les équations (2), les valeurs de $u^{0}$, $u'$, $u''$, etc., déduites du système (3), qui doivent rendre ces équations identiques ; et la seconde à exprimer, au contraire, que le système (2) devient identique lorsqu’on y substitue les valeurs de $\xi$, $\eta$, $\zeta$, déduites du système (3).

La première méthode conduit aux formules suivantes :

${\begin{array}{l}{\begin{aligned}{\frac {{\mathcal {B}}^{0}}{{\mathcal {A}}^{0}}}&+\mathrm {A} '=0,\\{\frac {{\mathcal {C}}^{0}}{{\mathcal {A}}^{0}}}&+{\frac {{\mathcal {C}}'}{{\mathcal {B}}'}}\,\mathrm {A} '+\mathrm {A} ''=0,\\{\frac {{\mathcal {D}}^{0}}{{\mathcal {A}}^{0}}}&+{\frac {{\mathcal {D}}'}{{\mathcal {B}}'}}\,\mathrm {A} '+{\frac {{\mathcal {D}}''}{{\mathcal {C}}''}}\,\mathrm {A} ''+\mathrm {A} '''=0,\end{aligned}}\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{array}}$

Ces formules feront connaître $\mathrm {A} '$, $\mathrm {A} ''$, $\mathrm {A} '''$, etc.