Page:Gauss - Méthode des moindres carrés, trad. Bertrand, 1855.djvu/62

( 48 )

d’où nous déduirons :

(2)

$\left\{{\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{3}&\xi &{}={}&u^{0},\\[0.25em]&\eta &{}={}&{\frac {{\mathcal {B}}^{0}}{{\mathcal {A}}^{0}}}u^{0}&{}+{}&u',\\&\zeta &{}={}&{\frac {{\mathcal {C}}^{0}}{{\mathcal {A}}^{0}}}u^{0}&{}+{}&{\frac {{\mathcal {C}}'}{{\mathcal {B}}'}}u'&{}+{}&u'',\end{alignedat}}\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{array}}\right.$

Les valeurs de $u^{0}$, $u'$, $u''$, etc., déduites de ces équations, se présenteront sous la forme suivante :

(3)

$\left\{{\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{3}&u^{0}&{}={}&\xi ,\\&u'&{}={}&\mathrm {A} '\xi &{}+{}&\eta ,\\&u''&{}={}&\mathrm {A} ''\xi &{}+{}&\mathrm {B} ''\eta &{}+{}&\zeta ,\end{alignedat}}\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{array}}\right.$

De la différentielle complète de l’équation

$\Omega =\xi \,(x-\mathrm {A} )+\eta \,(y-\mathrm {B} )+\zeta \,(z-\mathrm {C} )+\ldots +\mathrm {M} ,$

retranchons l’équation

${\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} \Omega =\xi \,\mathrm {d} x+\eta \,\mathrm {d} y+\zeta \,\mathrm {d} z+\ldots ,$

il viendra

${\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} \Omega =(x-\mathrm {A} )\,\mathrm {d} \xi +(y-\mathrm {B} )\,\mathrm {d} \eta +(z-\mathrm {C} )\,\mathrm {d} \zeta +\ldots .$

Cette expression doit être identique avec celle que l’on obtient à l’aide des équations (3), c’est-à-dire

${\frac {u^{0}}{{\mathcal {A}}^{0}}}\,\mathrm {d} \xi +{\frac {u'}{{\mathcal {B}}'}}\,(\mathrm {A} '\,\mathrm {d} \xi +\mathrm {d} \eta )+{\frac {u''}{{\mathcal {C}}''}}\,(\mathrm {A} ''\,\mathrm {d} \xi +\mathrm {B} ''\,\mathrm {d} \eta +\mathrm {d} \zeta )+\ldots ;$

on aura donc

(4)

$\left\{{\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{6}x&{}={}&{\frac {u^{0}}{{\mathcal {A}}^{0}}}&{}+{}&\mathrm {A} '\,{\frac {u'}{{\mathcal {B}}'}}&{}+{}&\mathrm {A} ''\,{\frac {u''}{{\mathcal {C}}''}}&{}+{}&\ldots &{}+{}&\mathrm {A} ,\\y&{}={}&&&{\frac {u'}{{\mathcal {B}}'}}&{}+{}&\mathrm {B} ''\,{\frac {u''}{{\mathcal {C}}''}}&{}+{}&\ldots &{}+{}&\mathrm {B} ,\\z&{}={}&&&&&{\frac {u''}{{\mathcal {C}}''}}&{}+{}&\ldots &{}+{}&\mathrm {C} ,\end{alignedat}}\\\,\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{array}}\right.$

En substituant dans ces expressions, les valeurs de $u^{0}$, $u'$, $u''$, etc., tirées des équations (3), on aura effectué l’éli-