Page:Gauss - Méthode des moindres carrés, trad. Bertrand, 1855.djvu/59

( 45 )

fonction $\Omega$ qui puisse correspondre à une valeur donnée de $t$, $t$ désignant, comme dans l’article précédent, l’expression linéaire

$fx+gy+hz+\ldots +k,$

dont la valeur la plus plausible est $\mathrm {K}$ ; désignons par $\mathrm {K} +\kappa$ la valeur donnée de $t$. D’après la théorie des maximum et minimum, la solution du problème sera donnée par les équations

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \Omega }{\mathrm {d} x}}&=\theta \,{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} x}},\\{\frac {\mathrm {d} \Omega }{\mathrm {d} y}}&=\theta \,{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} y}},\\{\frac {\mathrm {d} \Omega }{\mathrm {d} z}}&=\theta \,{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} z}},\\\cdot \cdots &\cdots \cdots \cdot \cdot \end{aligned}}$

ou

${\begin{aligned}\xi &=\theta \,f,\\\eta &=\theta \,g,\\\zeta &=\theta \,h,\\\cdot \cdot &\cdots \cdots \end{aligned}}$

$\theta$ désignant un multiplicateur encore indéterminé.

Si, comme dans l’article précédent, nous posons identiquement,

$t=\mathrm {F} \,\xi +\mathrm {G} \,\eta +\mathrm {H} \,\zeta +\ldots +\mathrm {K} ,$

nous aurons

$\mathrm {K} +\kappa =\theta \,(f\,\mathrm {F} +g\,\mathrm {G} +h\,\mathrm {H} +\ldots )+\mathrm {K} \,;$

d’où

$\theta ={\frac {\kappa }{\omega }},$

$\omega$ ayant la même signification que dans l’article précédent.

Puisque $\Omega -\mathrm {M}$ est nue fonction homogène du second degré, par rapport aux variables $\xi$, $\eta$, $\zeta$, etc., sa valeur pour

${\begin{aligned}\xi &=\theta \,f,&\eta &=\theta \,g,&\zeta &=\theta \,h,\ldots ,\end{aligned}}$

sera évidemment

$\theta ^{2}\omega ,$