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Supposons, pour un instant, que $\xi$, $\eta$, $\zeta$, etc., ne soient pas indépendantes, mais qu’il existe entre ces quantités l’équation identique

$0=\mathrm {F} \,\xi +\mathrm {G} \,\eta +\mathrm {H} \,\zeta +\ldots +\mathrm {K}$ ;

nous en conclurons

${\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{4}&\mathrm {F} \sum a^{2}&{}+{}&\mathrm {G} \sum ab&{}+{}&\mathrm {H} \sum ac&{}+{}&\ldots &{}=0,\\[0.75ex]&\mathrm {F} \sum ab&{}+{}&\mathrm {G} \sum b^{2}&{}+{}&\mathrm {H} \sum bc&{}+{}&\ldots &{}=0,\\[0.75ex]&\mathrm {F} \sum ac&{}+{}&\mathrm {G} \sum bc&{}+{}&\mathrm {H} \sum c^{2}&{}+{}&\ldots &{}=0,\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\{\begin{alignedat}{4}&\mathrm {F} \sum al\,\,&{}+{}&\mathrm {G} \sum bl\,&{}+{}&\mathrm {H} \sum cl\,&{}+{}&\ldots &{}=-\mathrm {K} .\\\end{alignedat}}\end{array}}$

Posons

(1)

$\left\{{\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{4}&a&\mathrm {F} &{}+{}b&\mathrm {G} {}+{}&c&\mathrm {H} {}+{}\ldots &{}=\theta ,\\&a'&\mathrm {F} &{}+{}b'&\mathrm {G} {}+{}&c'&\mathrm {H} {}+{}\ldots &{}=\theta ',\\&a''&\mathrm {F} &{}+{}b''&\mathrm {G} {}+{}&c''&\mathrm {H} {}+{}\ldots &{}=\theta '',\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \end{array}}\right.$

il viendra

${\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{4}a\,\theta &{}+{}a'&\theta '&{}+{}a''&\theta ''+\ldots &{}={}0,\\b\,\theta &{}+{}b'&\theta '&{}+{}b''&\theta ''+\ldots &{}={}0,\\c\,\theta &{}+{}c'&\theta '&{}+{}c''&\theta ''+\ldots &{}={}0,\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \cdot \\{\begin{alignedat}{4}l\,\theta &{}+{}l'&\theta '&{}+{}l''&\theta ''+\ldots &{}={}-\mathrm {K} .\\\end{alignedat}}\end{array}}$

En multipliant les équations (1), respectivement par $\theta$, $\theta '$, $\theta ''$, etc., et ajoutant, il vient

$\theta ^{2}+{\theta '}^{2}+{\theta ''}^{2}+\ldots =0,$

et cette équation entraîne les suivantes :

${\begin{aligned}\theta &=0,&\theta '&=0,&\theta ''&=0,\ldots .\end{aligned}}$

De là nous concluons, en premier lieu, $\mathrm {K} =0$. En second lieu, les équations (1) montrent que les fonctions $v$, $v'$, $v''$, etc., sont telles, que leurs valeurs ne changent pas lors-