Page:Gauss - Méthode des moindres carrés, trad. Bertrand, 1855.djvu/48

( 34 )

de $x$, $y$, $z$, etc., qui se présenteront sous la forme suivante :

(7)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}x&=\mathrm {A} &{}+{}&(\alpha \alpha )&\,\xi &{}+{}(\alpha \beta )&\,\eta &{}+{}(\alpha \gamma )&\,\zeta +\ldots ,\\y&=\mathrm {B} &{}+{}&(\beta \alpha )&\,\xi &{}+{}(\beta \beta )&\,\eta &{}+{}(\beta \gamma )&\,\zeta +\ldots ,\\z&=\mathrm {C} &{}+{}&(\gamma \alpha )&\,\xi &{}+{}(\gamma \beta )&\,\eta &{}+{}(\gamma \gamma )&\,\zeta +\ldots .\end{alignedat}}\right.$

Les valeurs les plus plausibles des inconnues $x$, $y$, $z$, etc., seront $\mathrm {A}$, $\mathrm {B}$, $\mathrm {C}$, etc. Les poids de ces déterminations seront

${\begin{aligned}{\frac {1}{(\alpha \alpha )}},&&{\frac {1}{(\beta \beta )}},&&{\frac {1}{(\gamma \gamma )}},\ldots ,\end{aligned}}$

et les erreurs moyennes à craindre

pour $x,\quad m{\sqrt {p^{\stackrel {}{}}}}\,(\alpha \alpha )=m'{\sqrt {p'}}(\alpha \alpha ),\dots ,$

pour $y,\quad m{\sqrt {p^{\stackrel {}{}}}}\,(\beta \beta )\,=m'{\sqrt {p'}}(\beta \beta ),\dots ,$

pour $z,\quad m{\sqrt {p^{\stackrel {}{}}}}\,(\gamma \gamma )\,=m'{\sqrt {p'}}(\gamma \gamma ),\dots ,$

ce qui s’accorde avec les résultats obtenus antérieurement (Theoria Motus Corporum cœlestium).

22.

Le cas où il n’y a qu’une seule inconnue est le plus fréquent et le plus simple de tous. On a alors

${\begin{aligned}\mathrm {V} &=x,&\mathrm {V'} &=x,&\mathrm {V''} &=x,\dots \end{aligned}};$

il sera utile d’en dire quelques mots.

On aura

${\begin{aligned}a&={\sqrt {p^{\stackrel {}{}}}},&a'&={\sqrt {p'}},&a''&={\sqrt {p''}},\ldots ,\\l&=-\mathrm {L} {\sqrt {p^{\stackrel {}{}}}},&l'&=-\mathrm {L'} {\sqrt {p'}},&l''&=-\mathrm {L''} {\sqrt {p''}},\ldots ,\\\end{aligned}}$

et, par conséquent,

$\xi =(p+p'+p''+\ldots )\,x-(p\mathrm {L} +p'\mathrm {L'} +p''\mathrm {L''} +\ldots );$

d’où

${\begin{aligned}(\alpha \alpha )&={\frac {1}{p+p'+p''+\ldots }},\\[0.75ex]\mathrm {A} &={\frac {p\mathrm {L} +p'\mathrm {L'} +p''\mathrm {L''} +\ldots }{p+p'+p''+\ldots }}\cdot \end{aligned}}$