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( 31 )

pose

(4)

$\left\{{\begin{alignedat}{8}&a&&(\alpha \alpha )&{}+{}&b&&(\alpha \beta )&{}+{}&c&&(\alpha \gamma )&{}+{}&\ldots &&=\alpha ,\\&a'&&(\alpha \alpha )&{}+{}&b'&&(\alpha \beta )&{}+{}&c'&&(\alpha \gamma )&{}+{}&\ldots &&=\alpha ',\\&a''&&(\alpha \alpha )&{}+{}&b''&&(\alpha \beta )&{}+{}&c''&&(\alpha \gamma )&{}+{}&\ldots &&=\alpha '',\\\end{alignedat}}\right.$

on aura identiquement

(5)

$\alpha v+\alpha 'v'+\alpha ''v''+\ldots =x-\mathrm {A} .$

Cette équation montre que parmi les différents systèmes de coefficients $\varkappa$, $\varkappa '$, $\varkappa ''$, etc., on doit compter le système

${\begin{aligned}\varkappa &=\alpha ,&\varkappa '&=\alpha ',&\varkappa ''&=\alpha '',\ldots .\end{aligned}}$

On aura d’ailleurs, pour un système quelconque,

$(\varkappa -\alpha )\,v+(\varkappa '-\alpha ')\,v'+(\varkappa ''-\alpha '')\,v''+\ldots =\mathrm {A} -k,$

et cette équation, étant identique, entraîne les suivantes :

${\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{4}(\varkappa -\alpha )\,a&{}+{}&(\varkappa '-\alpha ')\,a'&{}+{}&(\varkappa ''-\alpha '')\,a''&{}+{}&\ldots &=0,\\(\varkappa -\alpha )\,b&{}+{}&(\varkappa '-\alpha ')\,b'&{}+{}&(\varkappa ''-\alpha '')\,b''&{}+{}&\ldots &=0,\\(\varkappa -\alpha )\,c&{}+{}&(\varkappa '-\alpha ')\,c'&{}+{}&(\varkappa ''-\alpha '')\,c''&{}+{}&\ldots &=0.\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{array}}$

Ajoutons ces équations après les avoir multipliées, respectivement, par $(\alpha \alpha )$, $(\alpha \beta )$, $(\alpha \gamma )$, etc., nous aurons, en vertu du système (4),

$(\varkappa -\alpha )\,\alpha +(\varkappa '-\alpha ')\,\alpha '+(\varkappa ''-\alpha '')\,\alpha ''+\ldots =0,$

c’est-à-dire

$\varkappa ^{2}+{\varkappa '}^{2}+\ldots =\alpha ^{2}+{\alpha '}^{2}+\ldots +{(\varkappa -\alpha )}^{2}+{(\varkappa '-\alpha ')}^{2}+\ldots ;$

par conséquent, la somme

$\varkappa ^{2}+{\varkappa '}^{2}+{\varkappa ''}^{2}+\ldots$

aura une valeur minimum, lorsque l’on aura

${\begin{aligned}\varkappa &=\alpha ,&\varkappa '&=\alpha ',&\varkappa ''&=\alpha '',\ldots .\end{aligned}}$

D’ailleurs cette valeur minimum s’obtiendra de la manière suivante.