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Parmi tous les systèmes des coefficients $\varkappa$, $\varkappa '$, $\varkappa$, etc., qui donnent identiquement

$\varkappa v+\varkappa 'v'+\varkappa ''v''+\ldots =x-k,$

$k$ étant indépendant de $x$, $y$, $z$, etc., trouver celui pour lequel $\varkappa ^{2}+{\varkappa '}^{2}+{\varkappa ''}^{2}+\ldots$ est minimum.

Solution. — Posons

(2)

$\left\{{\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{4}av&{}+{}&a'v'&{}+{}&a''v''&{}+{}&\ldots &=\xi ,\\bv&{}+{}&b'v'&{}+{}&b''v''&{}+{}&\ldots &=\eta ,\\cv&{}+{}&c'v'&{}+{}&c''v''&{}+{}&\ldots &=\zeta ,\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \cdot \end{array}}\right.$

$\xi$, $\eta$, $\zeta$ seront des fonctions linéaires de $x$, $y$, $z$, et l’on aura

(3)

$\left\{{\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{5}\xi &=x\sum a^{2}&{}+{}&y\sum ab&{}+{}&z\sum ac&{}+{}&\ldots &{}+{}&\sum al,\\[0.75ex]\eta &=x\sum ab&{}+{}&y\sum b^{2}&{}+{}&z\sum bc&{}+{}&\ldots &{}+{}&\sum bl,\\[0.75ex]\zeta &=x\sum ac&{}+{}&y\sum bc&{}+{}&z\sum c^{2}&{}+{}&\ldots &{}+{}&\sum cl,\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \end{array}}\right.$

où

$\sum a^{2}=a^{2}+{a'}^{2}+{a''}^{2}+\ldots ,$

et de même pour les autres $\textstyle \sum$.

Le nombre des quantités $\xi$, $\eta$, $\zeta$, etc., est égal au nombre $\varpi$ des inconnues $x$, $y$, $z$, etc. ; on pourra donc obtenir, par élimination, une équation de la forme suivante^[1],

$x=\mathrm {A} +(\alpha \alpha )\,\xi +(\alpha \beta )\,\eta +(\alpha \gamma )\,\zeta +\ldots ,$

qui sera satisfaite identiquement lorsqu’on remplacera $\xi$, $\eta$, $\zeta$ leurs valeurs (3). Par conséquent, si l’on

1. On verra plus loin la raison qui nous a conduit à désigner les coefficients de cette formule par la notation $(\alpha \alpha )$, $(\alpha \beta )$, etc. (Note de M. Gauss.)