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la somme

$x^{2}+{x'}^{2}+{x''}^{2}+\ldots$

sera

$m^{2}+{m'}^{2}+{m''}^{2}+\ldots$.

Or, si l’on sait, par ailleurs, que les quantités $m$, $m'$, $m''$, etc., sont respectivement proportionnelles aux nombres, $1$, $\mu '$, $\mu ''$, etc., la valeur moyenne de l’expression

${\frac {x^{2}+{x'}^{2}+{x''}^{2}+\ldots }{1+{\mu '}^{2}+{\mu ''}^{2}+\ldots }}$

sera égale à $m^{2}$. Mais si nous adoptons pour $m^{2}$ la valeur que prendra cette expression, en y substituant les erreurs $x$, $x'$, $x''$, etc., telles que le hasard les offrira, l’erreur moyenne qui affecte cette détermination sera, d’après l’article précédent,

${\frac {\sqrt {n^{4}+{n'}^{4}+{n''}^{4}+\ldots -m^{4}-{m'}^{4}-{m''}^{4}-\ldots }}{1+{\mu '}^{2}+{\mu ''}^{2}+\ldots }}$

où $n'$, $n''$, etc., ont la même signification, par rapport à la seconde et à la troisième observation, que $n$ par rapport à la première ; et si l’on peut supposer les nombres $n$, $n'$, $n''$, etc., proportionnels à $m$, $m'$, $m''$, etc., cette erreur moyenne à craindre sera égale à

${\frac {\sqrt {(n^{4}-m^{4})(1+{\mu '}^{4}+{\mu ''}^{4}+\ldots )}}{1+{\mu '}^{2}+{\mu ''}^{2}+\ldots }}$ ;

mais cette manière de déterminer une valeur approchée de $m$ n’est pas la plus avantageuse.

Considérons l’expression plus générale

$y={\frac {x^{2}+\alpha '{x'}^{2}+\alpha ''{x''}^{2}+\ldots }{1+\alpha '{\mu '}^{2}+\alpha ''{\mu ''}^{2}+\ldots }}$,

dont la valeur moyenne sera aussi $m^{2}$, quels que soient les coefficients $\alpha '$, $\alpha ''$, etc. L’erreur moyenne à craindre lorsqu’on substitue la valeur $m^{2}$ à une valeur de $y$, déterminée d’après les erreurs fortuites $x$, $x'$, $x''$, etc., sera, d’après