Page:Gauss - Méthode des moindres carrés, trad. Bertrand, 1855.djvu/33

( 19 )

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

14.

Si la fonction $y$ se réduit à une somme de termes de la forme

$\mathrm {A} \,x^{\alpha }{x'}^{\beta }{x''}^{\gamma }\ldots$,

la valeur de l’intégrale

$\int y\,\psi (y)\,\mathrm {d} y$,

étendue à toutes les valeurs de $y$, c’est-à-dire la valeur moyenne de $y$, sera égale à une somme de termes de la forme

$\mathrm {A} \int _{-\infty }^{\infty }x^{\alpha }\varphi (x)\,\mathrm {d} x\cdot \int _{-\infty }^{\infty }{x'}^{\beta }\varphi (x')\,\mathrm {d} x'\cdot \int _{-\infty }^{\infty }{x''}^{\gamma }\varphi (x'')\,\mathrm {d} x''\ldots ,$

c’est-à-dire que la valeur moyenne de $y$ est égale à une somme de termes déduits de ceux mêmes qui composent $y$, en y remplaçant $x^{\alpha }$, $x'^{\beta }$, $x''^{\gamma }$, etc., par leurs valeurs moyennes. La démonstration de ce théorème important pourrait facilement se déduire d’autres considérations.

15.

Appliquons le théorème précédent au cas où l’on a

$y={\frac {x^{2}+{x'}^{2}+{x''}^{2}+\ldots }{\sigma }},$

$\sigma$ désignant le nombre des termes du numérateur.

On trouve tout de suite que la valeur moyenne de $y$ est égale à $m^{2}$ (la lettre $m$ ayant toujours la signification de l’art. 7). La véritable valeur de $y$ peut être inférieure ou supérieure à sa moyenne, de même que la vraie valeur de $x^{2}$ peut, dans chaque cas, être inférieure ou supérieure à $m^{2}$ ; mais la probabilité pour que la valeur fortuite de $y$ ne diffère pas sensiblement de $m^{2}$, s’approchera sans cesse de la certitude à mesure que $\sigma$ deviendra plus grand. Pour le montrer plus clairement, comme il est impossible de chercher exactement cette probabilité, nous chercherons l’erreur moyenne à