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par l’intégrale

$\int y\,\psi (y)\,\mathrm {d} y$,

étendue à toutes les valeurs possibles de $y$.

Si, par la nature de la fonction, ou à cause des limites imposées à $x$, $x'$, $x''$, etc., $y$ n’est pas susceptible de recevoir toutes les valeurs, on devra supposer que $\psi (y)$ s’annule pour toutes les valeurs que $y$ ne peut atteindre, et l’on pourra alors étendre l’intégration de $-\infty$ à $+\infty$.

Mais l’intégrale

$\int y\,\psi (y)\,\mathrm {d} y$,

prise entre des limites déterminées $\eta$, et $\eta '$, est égale à

$\int \!\!y\,\varphi \!\left[f(y,x',x'',\ldots )\right]{\frac {\mathrm {d} f(y,x',x'',\ldots )}{\mathrm {d} y}}\varphi (x')\varphi (x'')\ldots \mathrm {d} y\,\mathrm {d} x'\,\mathrm {d} x''\ldots ,$

prise depuis $y=\eta$ jusqu’à $y=\eta '$ et étendue à toutes les valeurs des variables $x'$, $x''$, etc., pour lesquelles $f$ est réelle. Cette intégrale est égale, par conséquent, à l’intégrale

$\int y\,\varphi (x)\,\varphi (x')\,\varphi (x'')\ldots \,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} x'\,\mathrm {d} x''\ldots ,$

dans laquelle $y$ sera exprimé en fonction de $x$, $x'$, $x''$, etc., la sommation s’étendant à toutes les valeurs des variables qui laissent $y$ compris entre $\eta$ et $\eta '$, D’après cela, l’intégrale

$\int _{-\infty }^{\infty }y\,\psi (y)\,\mathrm {d} y$

peut se mettre sous la forme

$\int y\,\varphi (x)\,\varphi (x')\,\varphi (x'')\ldots \,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} x'\,\mathrm {d} x''\ldots ,$

l’intégration s’étendant à toutes les valeurs réelles de $x$, $x'$, $x''$, c’est-à-dire depuis $x=-\infty$ à $x=+\infty$, $x'=-\infty$ à $x'=+\infty$, etc.