Page:Gauss - Méthode des moindres carrés, trad. Bertrand, 1855.djvu/27

( 13 )

d’où l’on conclut

$\psi '(\mu )={\frac {\lambda \,m}{(1-f)\mu }}\cdot$

Cela posé, considérons la fonction

${\frac {\lambda \,m}{(1-f)\mu }}(y-\mu f)$,

que nous désignerons par $\mathrm {F} (y)$, et posons

$\mathrm {d} {.}\mathrm {F} (y)=\mathrm {F} '(y)\,\mathrm {d} y$ ;

on aura évidemment

${\begin{aligned}\mathrm {F} (\mu )&=\lambda \,m=\psi (\mu ),\\\mathrm {F} '(\mu )&={\frac {\lambda \,m}{(1-f)\mu }}=\psi '(\mu ).\\\end{aligned}}$

Or, puisque $\psi '(y)$ croît continuellement (ou du moins ne décroît pas, car c’est ainsi qu’on doit toujours l’entendre) lorsque $y$ croît, et que, d’un autre côté, $\mathrm {F} '(y)$ est constant, la différence

$\psi '(y)-\mathrm {F} '(y)={\frac {\mathrm {d} [\psi (y)-\mathrm {F} (y)]}{\mathrm {d} y}}$

sera positive pour toutes les valeurs de $y$ plus grandes que $\mu$, et négative pour les valeurs de $y$ plus petites que $\mu$. On en conclut que la différence $\psi (y)-\mathrm {F} (y)$ est toujours positive, et, par suite, $\psi (y)$ sera certainement plus grand que $\mathrm {F} (y)$ en valeur absolue, tant que la fonction $\mathrm {F} (y)$ sera positive, c’est-à-dire depuis $y=\mu f$ jusqu’à $y=1$. La valeur de l’intégrale

$\int _{\mu f}^{1}[\mathrm {F} (y)]^{2}\,\mathrm {d} y$

sera donc inférieure à celle de l’intégrale

$\int _{\mu f}^{1}[\psi (y)]^{2}\,\mathrm {d} y$,

et à fortiori moindre que

$\int _{0}^{1}[\psi (y)]^{2}\,\mathrm {d} y$,