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Lorsque , les deux limites coïncident et ne peut pas être supérieur à
Pour démontrer ce théorème remarquable, représentons par la valeur de l’intégrale
;
alors sera la probabilité pour qu’une erreur soit comprise entre et .
Posons
,
,
,
on aura
,
et
;
on en conclut, en ayant égard aux hypothèses qui ont été faites, que, depuis jusqu’à , est toujours croissant, ou du moins n’est pas décroissant, et que, par suite, est toujours positif, ou du moins n’est pas négatif. Or nous avons
,
par suite,
;
a donc une valeur constamment positive, ou du moins cette expression ne sera jamais négative. Il suit de là que sera toujours positif et moindre que l’unité. Soit la valeur de cette différence pour ; à cause de , on a
,