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Lorsque
, les deux limites coïncident et
ne peut pas être supérieur à
Pour démontrer ce théorème remarquable, représentons par
la valeur de l’intégrale
![{\displaystyle \int _{-x}^{+x}\varphi (z)\,\mathrm {d} z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80f38ba311ea00b0823535f974ee1df18206bbb4)
;
alors
sera la probabilité pour qu’une erreur soit comprise entre
et
.
Posons
![{\displaystyle x=\psi (y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fb42698bb910f58776bd61a32f7ace0dd028f04)
,
![{\displaystyle \mathrm {d} \psi (y)=\psi '(y)\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3816a97bbf723927a5d5cd0129d8393539774a89)
,
![{\displaystyle \mathrm {d} \psi '(y)=\psi ''(y)\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/515bdc03c13fd438fbb366e31dc6ef87703a55e3)
,
on aura
![{\displaystyle \psi (0)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ade1f027dea10715a1a21952377c4f113a2fdf3)
,
et
![{\displaystyle \psi '(y)={\frac {1}{\varphi (x)+\varphi (-x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b05573d137fbe0ea4b7699c5008a1503ca899b69)
;
on en conclut, en ayant égard aux hypothèses qui ont été faites, que, depuis
jusqu’à
,
est toujours croissant, ou du moins n’est pas décroissant, et que, par suite,
est toujours positif, ou du moins n’est pas négatif. Or nous avons
![{\displaystyle \mathrm {d} .y\,\psi '(y)=\psi '(y)\,\mathrm {d} y+y\,\psi ''(y)\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94de69f7571bcd0d8bc55586755a0b182cff29f2)
,
par suite,
![{\displaystyle y\,\psi '(y)-\psi (y)=\int _{0}^{y}y\,\psi ''(y)\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfebaa8f125330ad814fbb1a7536239e6bd9e030)
;
a donc une valeur constamment positive, ou du moins cette expression ne sera jamais négative. Il suit de là que
sera toujours positif et moindre que l’unité. Soit
la valeur de cette différence pour
; à cause de
, on a
![{\displaystyle f=1-{\frac {\lambda \,m}{\mu \,\psi '(\mu )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b89e9f70f1b798e3739484f09db57a40db01a4a)
,