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comme les termes d’une progression arithmétique, on aura

$\varphi (x)={\frac {a-x}{a^{2}}}$

pour les valeurs de $x$ comprises entre 0 et $+a$, et

$\varphi (x)={\frac {a+x}{a^{2}}}$

pour les valeurs comprises entre 0 et $-a$ : de là on déduit

${\begin{aligned}m&=a\,{\sqrt {\frac {1}{6}}},&\mu &=\lambda \,{\sqrt {\frac {2}{3}}}-{\frac {1}{6}}\lambda ^{2},\end{aligned}}$

tant que $\lambda$ est compris entre 0 et ${\sqrt {6}}$ ;

$\lambda ={\sqrt {6}}-{\sqrt {6-6\mu }},$

tant que $\mu$ est compris entre 0 et 1 ; et, enfin,

$\rho =m\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {3}}\right)=$ 0,7174389$m$.

Dans ce cas, la probabilité que l’erreur restera inférieure à l’erreur moyenne sera

${\sqrt {\frac {2}{3}}}-{\frac {1}{6}}=$ 0,6498299.

III. Si nous supposons la fonction $\varphi (x)$ proportionnelle à $e^{-{\frac {x^{2}}{h^{2}}}}$ [ce qui, en réalité, n’est vrai qu’approximativement^[1]], elle devra être égale à

$\varphi (x)={\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{h^{2}}}}}{h\,{\sqrt {\pi }}}}\,;$

on en conclut

$m=h\,{\sqrt {\frac {1}{2}}},$

(voir Disquisitiones generales circa seriem infinitam, art. 28, Mémoires de Gottingue, tome II).

1. Il faut se reporter, pour comprendre cette remarque, à un chapitre du Theoria Motus Corporum cœlestium, dans lequel M. Gauss montre que cette loi de probabilités est la plus vraisemblable que l’on puisse adopter. À la fin du volume nous reproduisons ce chapitre, dans lequel l’illustre auteur a fait connaître pour la première fois la méthode des moindres carrés. J. B.