Page:Gauss - Méthode des moindres carrés, trad. Bertrand, 1855.djvu/160

( 146 )

soit comprise entre $(\mathrm {H} -\lambda )$ et $(\mathrm {H} +\lambda )$, sera égale à

$\Theta \left({\frac {\lambda }{\mathrm {H} }}\,{\sqrt {m}}\right),$

et sera égale à ${\frac {1}{2}}$ lorsque ${\frac {\lambda }{\mathrm {H} }}\,{\sqrt {m}}=\rho$.

Il y a donc un contre un à parier que la véritable valeur de $h$ soit entre

$\mathrm {H} \left(1-{\frac {\rho }{\sqrt {m}}}\right)\quad$ et $\quad \mathrm {H} \left(1+{\frac {\rho }{\sqrt {m}}}\right),$

ou que la véritable valeur de $r$ soit entre

${\frac {\mathrm {R} }{1-{\dfrac {\rho }{\sqrt {m}}}}}\quad$ et $\quad {\frac {\mathrm {R} }{1+{\dfrac {\rho }{\sqrt {m}}}}},$

où $\mathrm {R}$ désigne la valeur la plus probable de $r$ trouvée dans l’article précédent. Ces limites peuvent s’appeler les limites probables des véritables valeurs de $h$ et de $r$. Il est évident que nous pourrons admettre ici pour limites probables de $r$ :

$\mathrm {R} \left(1-{\frac {\rho }{\sqrt {m}}}\right)\quad$ et $\quad \mathrm {R} \left(1+{\frac {\rho }{\sqrt {m}}}\right)\cdot$

5.

Dans la discussion précédente, nous avons considéré $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc., comme des quantités définies et données, afin d’évaluer la probabilité que la véritable valeur de $h$ ou de $r$ soit comprise entre certaines limites.

On peut envisager la question sous un autre point de vue, en admettant que les erreurs des observations soient soumises à une loi déterminée de probabilité ; on peut alors évaluer la probabilité pour que la somme des carrés de $m$ erreurs d’observations tombe entre certaines limites. Laplace a déjà résolu ce problème dans le cas où $m$ est un