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Les explications suivantes sont littéralement traduites du Mémoire de M. Gauss.

2.

Dans l’impossibilité où nous sommes de satisfaire exactement aux onze équations proposées, c’est-à-dire d’annuler tous les seconds membres, nous chercherons à rendre la somme de leurs carrés aussi petite que possible.

On aperçoit facilement que si l’on considère les fonctions linéaires

${\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{6}&n&{}+{}&ap&{}+{}&cr&{}+{}&ds&{}+{}&\ldots &{}={}&w,\\&n'&{}+{}&a'p&{}+{}&c'r&{}+{}&d's&{}+{}&\ldots &{}={}&w',\\&n''&{}+{}&a''p&{}+{}&c''r&{}+{}&d''s&{}+{}&\ldots &{}={}&w'',\end{alignedat}}\\\,\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \cdot \end{array}}$

les équations qu’il faut résoudre pour rendre

$\Omega ={w}^{2}+{w'}^{2}+{w''}^{2}\ldots$

un minimum, sont

${\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{4}a&w{}+{}&a'&w'{}+{}&a''&w''{}+{}&\ldots =0,\\b&w{}+{}&b'&w'{}+{}&b''&w''{}+{}&\ldots =0,\\c&w{}+{}&c'&w'{}+{}&c''&w''{}+{}&\ldots =0,\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{array}}$

ou, en posant, pour abréger,

${\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{4}&an&{}+{}&a'n'&{}+{}&a''n''&{}+{}\ldots &{}={}(an),\\&{a}^{2}&{}+{}&{a'}^{2}&{}+{}&{a''}^{2}&{}+{}\ldots &{}={}(aa),\\&ab&{}+{}&a'b'&{}+{}&a''b''&{}+{}\ldots &{}={}(ab),\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\{\begin{alignedat}{4}&{b}^{2}&{}+{}&{b'}^{2}&{}+{}&{b''}^{2}&{}+{}\ldots &{}={}(bb),\\&bc\;&{}+{}&b'c'\;&{}+{}&b''c''\;&{}+{}\ldots &{}={}(bc),\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{array}}$

$p$, $q$, $r$, $s$, etc., devront se déterminer par les équations sui-