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avoir

$\beta '=0.$

Mais il est clair que $\mathrm {W} '$ se déduit de

$v^{2}+{v'}^{2}+{v''}^{2}+\ldots ,$

en remplaçant dans $v$, $v'$, $v''$, etc., la quantité $p$ par sa valeur tirée de l’équation

$p'=0$ :

donc $\beta '$ sera la somme des coefficients de $q^{2}$ dans $v^{2}$, ${v'}^{2}$, ${v''}^{2}$, etc., après cette substitution. Mais ces coefficients sont tous des carrés et ne peuvent s’évanouir tous à la fois, si ce n’est dans le cas, que nous excluons de nos recherches, où les inconnues seraient indéterminées ; donc $\beta '$ doit être positive.

III. Si l’on pose, enfin,

${\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {dW''} }{\mathrm {d} r}}=r'=\lambda ''+\gamma ''r+\delta ''s+\ldots$

et

$\mathrm {W} ''-{\frac {{r'}^{2}}{\gamma ''}}=\mathrm {W} ''',$

on aura

$r'=\mathrm {R} -{\frac {\gamma }{\alpha }}\,p'-{\frac {\gamma '}{\beta '}}\,q',$

et $\mathrm {W} '''$ sera indépendant de $p$, de $q$ et de $r$. On prouvera comme plus haut que le coefficient $\gamma ''$ doit être positif. On voit, en effet, facilement que $\gamma ''$ est la somme des coefficients de $r^{2}$ dans $v^{2}$, ${v'}^{2}$, ${v''}^{2}$, etc., après que les quantités $p$ et $q$ ont été éliminées de $v$, $v'$, $v''$, etc., à l’aide des équations

${\begin{aligned}p'&=0,&q'&=0.\end{aligned}}$

IV. De la même manière en posant

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {dW'''} }{\mathrm {d} s}}&=s'=\lambda '''+\delta '''s+\ldots ,&\mathrm {W} ^{\scriptscriptstyle \mathrm {IV} }&=\mathrm {W} '''-{\frac {{s'}^{2}}{\delta '''}},\end{aligned}}$