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avoir
![{\displaystyle \beta '=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd236f1089c4cc7fe2d17f0e72f7c7cc609f7b70)
Mais il est clair que
se déduit de
![{\displaystyle v^{2}+{v'}^{2}+{v''}^{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d02a887a6f298c98e9e2bc82a49dbf172ac8d90)
en remplaçant dans
,
,
, etc., la quantité
par sa valeur tirée de l’équation
![{\displaystyle p'=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41fb240415c30f0214cc6b845692f7c7ab87476f)
:
donc
sera la somme des coefficients de
dans
,
,
, etc., après cette substitution. Mais ces coefficients sont tous des carrés et ne peuvent s’évanouir tous à la fois, si ce n’est dans le cas, que nous excluons de nos recherches, où les inconnues seraient indéterminées ; donc
doit être positive.
III. Si l’on pose, enfin,
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {dW''} }{\mathrm {d} r}}=r'=\lambda ''+\gamma ''r+\delta ''s+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b9623a0c5a7af4d5722a84b0271387e317c96ce)
et
![{\displaystyle \mathrm {W} ''-{\frac {{r'}^{2}}{\gamma ''}}=\mathrm {W} ''',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4511db0f7e652a66b5b36c819e1cfff51f82857a)
on aura
![{\displaystyle r'=\mathrm {R} -{\frac {\gamma }{\alpha }}\,p'-{\frac {\gamma '}{\beta '}}\,q',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76969c9ffc25b3bb97e8c6466914f55d5dead3b5)
et
sera indépendant de
, de
et de
. On prouvera comme plus haut que le coefficient
doit être positif. On voit, en effet, facilement que
est la somme des coefficients de
dans
,
,
, etc., après que les quantités
et
ont été éliminées de
,
,
, etc., à l’aide des équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}p'&=0,&q'&=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc1a4f7a298a8fb4713553f65342751eb13d220c)
IV. De la même manière en posant
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {dW'''} }{\mathrm {d} s}}&=s'=\lambda '''+\delta '''s+\ldots ,&\mathrm {W} ^{\scriptscriptstyle \mathrm {IV} }&=\mathrm {W} '''-{\frac {{s'}^{2}}{\delta '''}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efa4ca117fc62cb751cbeffe868214451e0da5e0)