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8.

Avant de rechercher, dans le cas de plusieurs inconnues, le degré de précision qu’on doit attribuer à chacune d’elles, il importe d’étudier plus attentivement la fonction

$v^{2}+{v'}^{2}+{v''}^{2}+\ldots ,$

que nous désignerons par $\mathrm {W}$.

I. Posons

${\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {dW} }{\mathrm {d} p}}=p'=\lambda +\alpha \,p+\beta \,q+\gamma \,r+\delta \,s+\ldots$

et

$\mathrm {W} -{\frac {{p'}^{2}}{\alpha }}=\mathrm {W} ',$

il en résulte évidemment

$p'=\mathrm {P} \,;$

comme on a

${\frac {\mathrm {dW'} }{\mathrm {d} p}}={\frac {\mathrm {dW} }{\mathrm {d} p}}-{\frac {2\,p'}{\alpha }}{\frac {\mathrm {d} p'}{\mathrm {d} p}}=0,$

on voit que la fonction $\mathrm {W} '$ sera indépendante de $p$. Le coefficient

$\alpha =a^{2}+{a'}^{2}+{a''}^{2}+\ldots ,$

sera toujours évidemment une quantité positive.

II. De même, posons,

${\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {dW'} }{\mathrm {d} q}}=q'=\lambda '+\beta 'q+\gamma 'r+\delta 's+\ldots$

et

$\mathrm {W} '-{\frac {{q'}^{2}}{\beta '}}=\mathrm {W} '',$

on aura

$q'={\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {dW} }{\mathrm {d} q}}-{\frac {p'}{\alpha }}\cdot {\frac {\mathrm {d} p'}{\mathrm {d} q}}=\mathrm {Q} -{\frac {\beta }{\alpha }}\,p'$

et

${\frac {\mathrm {dW''} }{\mathrm {d} q}}=0.$

Donc la fonction $\mathrm {W} ''$ est indépendante à la fois de $p$ et de $q$. Ces circonstances n’auraient plus lieu si l’on pouvait