Page:Gauss - Méthode des moindres carrés, trad. Bertrand, 1855.djvu/138

( 124 )

c’est-à-dire que les fonctions $\mathrm {V}$, $\mathrm {V'}$, $\mathrm {V''}$, etc., devraient ne pas changer si $p$, $q$, $r$, $s$, etc., reçoivent des accroissements quelconques proportionnels aux nombres $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, etc. Un pareil cas, dans lequel la détermination des inconnues ne serait pas possible, même si l’on donnait les vraies valeurs des fonctions, n’appartient pas à notre sujet, comme nous en avons averti plus haut.

Au reste, on peut réduire facilement tous les cas à celui où les fonctions $\mathrm {V}$, $\mathrm {V'}$, $\mathrm {V''}$, etc., sont linéaires. Désignons par $\pi$, $\chi$, $\rho$, $\sigma$, etc., des valeurs approchées des inconnues $p$, $q$, $r$, $s$, etc. (que nous obtiendrons en faisant usage de $\nu$ équations prises parmi les $\mu$ équations

${\begin{aligned}\mathrm {V} &=\mathrm {M} ,&\mathrm {V} '&=\mathrm {M} ',&\mathrm {V} ''=\mathrm {M} '',\ldots ),\end{aligned}}$

et posons

${\begin{aligned}p&=\pi +p',&q&=\chi +q',&r&=\rho +r',&s&=\sigma +s',\ldots ;\end{aligned}}$

il est clair que ces nouvelles inconnues seront si petites, que leurs carrés et leurs produits seront négligeables, et que les équations deviendront linéaires par suite des substitutions indiquées. Que si, à la fin du calcul, on trouve contre toute attente que les valeurs de $p'$, $q'$, $r'$, $s'$, etc., qu’on en tire soient trop considérables, et qu’il paraisse peu sûr de négliger leurs carrés et leurs produits, on remédiera à cet inconvénient en répétant la même opération (mais en prenant pour $\pi$, $\chi$, $\rho$, $\sigma$, etc., les valeurs corrigées de $p$, $q$, $r$, $s$, etc.).

7.

Tant qu’on n’a qu’une seule inconnue $\rho$, pour la détermination de laquelle on a trouvé que les fonctions

${\begin{aligned}a\,p+n&,&a'p+n'&,&a''p+n''&,\ldots ,\end{aligned}}$

prenaient respectivement les valeurs

${\begin{aligned}\mathrm {M} &,&\mathrm {M} '&,&\mathrm {M} ''&,\ldots ,\end{aligned}}$${\displaystyle }$

et cela par des observations également exactes, la valeur la