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d’où l’on tire facilement que ${\frac {\varphi '(\Delta )}{\Delta }}$ doit être en général une constante $k$. On aura donc

$\log \varphi (\Delta )={\tfrac {1}{2}}k\,\Delta ^{2}+{\text{const.}}={\tfrac {1}{2}}k\,\Delta ^{2}+\log \varkappa ,$

d’où

$\varphi (\Delta )=\varkappa \,e^{{\frac {1}{2}}k\,\Delta ^{2}}.$

Or on voit facilement que la constante $k$ doit être négative, pour que $\Omega$ puisse devenir maximum : posons donc

${\frac {1}{2}}\,k=-h^{2},$

et comme, d’après un élégant théorème de Laplace, on a

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-h^{2}\Delta ^{2}}\,\mathrm {d} \Delta ={\frac {\sqrt {\pi }}{h}},$

notre fonction deviendra

$\varphi (\Delta )={\frac {h}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-h^{2}\Delta ^{2}}.$

4.

La fonction que nous venons de trouver ne peut pas exprimer, en toute rigueur, la probabilité des erreurs, puisque les erreurs possibles étant toujours renfermées entre certaines limites, la probabilité d’erreurs plus grandes devrait être toujours nulle, tandis que notre fonction a toujours une valeur finie. Cependant ce défaut, que présenterait également toute autre fonction analytique, n’a aucune importance dans les applications, parce que la valeur de notre fonction décroît si rapidement, pour peu que $h\,\Delta$ ait une valeur considérable, qu’on peut, en toute sûreté, la regarder alors comme équivalente à 0. D’ailleurs, la nature de la question ne permettra jamais d’assigner les limites des erreurs avec une rigueur absolue.

Au reste, la constante $h$ peut être regardée comme ser-