Page:Gauss - Méthode des moindres carrés, trad. Bertrand, 1855.djvu/131

Cette page a été validée par deux contributeurs.
( 117 )

De même les probabilités de l’hypothèse avant et après l’événement sont respectivement

et

mais, comme on a supposé que les hypothèses et avaient avant l’événement la même probabilité, on aura

d’où résulte immédiatement la vérité du théorème.

Si maintenant on suppose qu’on n’a, pour déterminer les inconnues, que les observations

et que tous les systèmes de valeurs des inconnues étaient également probables avant ces observations, il est visible que la probabilité d’un certain système, après ces observations, sera proportionnelle à . C’est-à-dire que exprimera la probabilité que les valeurs des inconnues soient respectivement comprises dans les limites infiniment voisines et , et , et représentant une quantité indépendante de , , , , etc. ; et l’on aura évidemment

3.

De là résulte naturellement que le système le plus probable des valeurs de , , , , etc., correspondra au maximum de , et se tirera des équations

si l’on pose

, , , et ,