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On en déduit l’équation en $s$,

${\begin{aligned}0=&(\mathrm {A} -s)(\mathrm {B} -s\,\cos \theta )^{2}+(\mathrm {A} '-s)(\mathrm {B} '-s\,\cos \theta ')^{2}+(\mathrm {A} ''-s)(\mathrm {B} ''-s\,\cos \theta '')^{2}\\&-(\mathrm {A} -s)(\mathrm {A} '-s)(\mathrm {A} ''-s)-2(\mathrm {B} -s\,\cos \theta )(\mathrm {B} '-s\,\cos \theta '')\end{aligned}}$

qui est du troisième degré parce qu’en effet il existe trois plans principaux.

Mais la quantité $s$ et l’équation qui la détermine jouissent d’une propriété fort remarquable que personne jusqu’ici ne paraît avoir observée.

Supposons que l’on transforme les coordonnées en exprimant les anciennes coordonnées d’un point en fonction des nouvelles. Si on substitue les valeurs de $x,y,z$ en $x',y',z'$ dans la fonction $\varphi (x,y,z)$ on obtient une fonction $\varphi '(x',y',z')$ d’une autre forme, et qui est telle que dans la fonction $\varphi$ on substitue les anciennes coordonnées d’un point déterminé, et dans la fonction $\varphi '$ les nouvelles, les deux résultats ainsi obtenus sont égaux.

Cela posé reprennons l’expression de $s$, $s=\mathrm {\frac {MP}{S}}$ la quantité $\mathrm {M}$ étant le résultat de la substitution des coordonnées du point pris sur une droite fixe à une distance = 1 de l’origine c’est à dire d’un point fixe, dans l’équation de la surface, ne variera quand on transformera les coordonnées.

La quantité $\mathrm {P}$ exprimant la demi-somme des distances d’un point $(x,y,z)$ à la surface distances comptées suivant une droite fixe, est aussi invariable par la transformation des coordonnées. Enfin la quantité $\mathrm {S}$ exprimant la distance d’un point à un plan déterminé, ne saurait non plus varier.

La quantité $s$ est donc elle même invariable pour un même plan principal, et l’équation qui donne ses trois valeurs aura des coefficients invariables. Or en la développant, on a

${\begin{aligned}&(1-\cos ^{2}\theta -\cos ^{2}\theta '-\cos ^{2}\theta ''+2\cos \theta \cos \theta '\cos \theta '')s^{3}\\&-s^{2}\mathrm {\left[A\sin ^{2}\theta +A'\sin ^{2}\theta '+A''\sin ^{2}\theta ''+2B(\cos \theta '\cos \theta ''-\cos \theta )\right.} \\&\qquad \qquad \left.+\mathrm {2B'(\cos \theta \,\cos \theta ''-\cos \theta ')+2B''(\cos \theta \,\cos \theta '-cos\theta '')} \right]\\&+s\mathrm {\left(A'A''+AA''+AA'-2AB\cos \theta -2A'B'\cos \theta '-2A''B''\cos \theta ''\right.} \\&\qquad \qquad \quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm {-B^{2}-B'^{2}-B''^{2}} \\&\qquad \qquad \mathrm {\left.+2B'B''\cos \theta +2BB''\cos \theta '+2BB'\cos \theta ''\right)} \\&\mathrm {+AB^{2}+A'B'^{2}+A''B''^{2}-AA'A''-2BB'B''} =0\end{aligned}}$

Divisant tous les coefficients par le premier ou par le dernier on