Ce principe posé, démontrons la proposition suivante :
« Toute fonction rationnelle de invariable par les substitutions de la forme est immédiatement connue. »
En effet, on pourra d’abord rendre cette fonction fonction de seuls, par l’élimination des autres racines. Cette fonction ne changerait pas de valeur si à la place de on mettait , n’étant pas nul.
Or, comme toute racine de la forme s’exprime en fonction rationnelle de , et , il s’ensuit que toute fonction symmetrique des racines dans les quelles le premier indice n’est pas nul sera connue en fonction rationnelle et entière de et de . Donc la fonction que nous considérions tout à l’heure ne variant pas quand on met pour l’une quelconque des racines dont le premier indice n’est pas nul, cette fonction sera une fonction de , et de , seuls. On éliminera encore de cette fonction qui deviendra fonction de et enfin une quantité connue.
Le principe est donc démontré.
Cela posé soit une fonction symmétrique de certaines racines de l’équation proposée. Posons
Prennons une fonction de invariable par les substitutions linéaires de ces quantités. Il est clair que cette fonction sera une fonction des racines invariable par toute substitution telle que [1] . Cette fonction sera donc connue. On pourra donc, par la méthode que j’ai indiquée, trouver les valeurs de et par conséquent décomposer l’équation proposée en facteurs dont l’un ait pour racines
On trouverait de même un facteur de la même équation dont les racines seraient . On pourra donc en cherchant le plus grand commun diviseur de ces deux facteurs avoir qui est l’une des solutions cherchées. Il en serait de même des autres racines.
- ↑ Il faut lire sans doute
.
